余弦定律和正弦定律是等价的

西德尼·H·孔
加利福尼亚州库比蒂诺
2016年12月

我们利用三角形的投影特性表明正弦定律和余弦定律是等效的。参见下图：

正弦定律和余弦定律是等价的

$\alpha+\beta+\gamma=\pi，\，$$a=b\cos\gamma+c\cos\beta.\，$（请注意，即使角度$\beta，\gamma\，$中的一个是钝角，后者也适用。）通过平方，

$\开始{align}a^2&=b^2\cos^2\gamma+c^2\cos^2\\beta+2bc\cos\beta\cos\gamma\\&=b^2（1-\sin^2\gamma）+c^2（1-\sin^2\beta）+2bc\cos\beta\cos\gamma\\&=b^2+c^2+2bc[\cos\beta\cos\gamma-\sin\beta\sin\gamma]\\&\qquad \ qquad-[b^2 \ sin^2 \ gamma+c^2 \ sin^2 \β-2bc \ sin\β\ sin\ gamma]\\&=[b^2+c^2+2bc\cos（β+\gamma）]-（b\sin\gamma-c\sin\beta）^2\\&=[b^2+c^2-2bc\cos\alpha]-（b\sin\gamma-c\sin\beta）^2，\结束{对齐}$

我们在那里使用余弦的加法公式因此，

（1）

$a^2=[b^2+c^2-2bc\cos（\alpha）]-（b\sin\gamma-c\sin\beta）^2$

这个表达式表明正弦定律和余弦定律是等价的，因为两个条件$a^2=b^2+c^2-2bc\cos（\alpha），$和$b\sin\gamma-c\sin\beta=0，$要么保持要么不同时保持，后者等价于正弦定律$\displaystyle\frac{sin\beta}{b}=\frac{sin\gamma}{c}，前者是余弦定律的表达。

已经有文章分别给出了正弦和余弦定律的证明或使用余弦定律证明正弦定律（[1]、[2]、[3]）。但有了（1），我们可以同时做到这两件事。

工具书类

  1. 余弦定律，第3.7节使用正弦定律，维基百科
  2. Patrik Nystedt，用余弦定律证明正弦定律，将于2017年上市数学杂志
  3. W.W.Sawyer，数学序曲，多佛，2011年，第37-39页

三角学

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