正弦和余弦的加减公式

在具有支腿a、b和斜边c以及角α相对边a的直角三角形中，三角函数正弦和余弦定义为

sinα=a/c，cosα=b/c。

该定义仅涵盖锐角α的情况：0<α<90°.因此，最初这两个函数都只为α的那些值定义。有充分的理由将这两个函数扩展到角度的其他值，但要这样做，即使是0或90°，也需要额外的定义。在没有适当扩展的情况下，定义只允许导出受角度限制的公式。例如，直接从定义来看，

sin（90°-α）=cosα，cos（90°–α）=sinα，

对于0<α<90°，因为α的这些限制也意味着对90°-α: 0 < 90°-α < 90°.

我们在这里关注的是说明两对公式，称为正弦和余弦加减公式，即sin（α±β）和cos（α±±β）的公式，其中涉及的所有角度都满足基本限制：

	0<α，β，α+β，<90°，用于加法，以及
	0<α，β，α-β<90°，用于减法。

当然，在对定义进行通用扩展后，公式对两个角度的所有值都适用。

所以，给定两个直角三角形，一个是角α，另一个是角度β。为了进行几何说明，我们需要将这些三角形以某种方式组合在一起，使角度α和β组合突出。如中所建议[Gelfand&Saul公司第126页]，只有三种方法：

第三个是推导的基础的公式sin（α±β）。我们将下面的图表扩展为没有文字的证明对于sin（α-β）和cos（α-β）[津巴]第一个是用来说明加法公式的[Gelfand&Saul公司第127-128页]。中间的一个可以通过三角形面积公式.

	sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ。
	cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ。

	sin（α-β）=sinαcosβ-cosαsinβ。
	cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ。

下一个证明依赖于图表：

从定义正弦和事实三角形的面积是高度和底的乘积的一半，因此三角形的are是任意两边乘以夹角sin的乘积。对于图中的三个三角形，我们有

取消cd后，给出正弦的加法公式。

观察到在这个证明中，α+β不一定是急性的。（本证明与类似证明sin（α-β）-均由S.Kung创作-也出现在[内尔森，第30页]。它也在[内尔森二世第39页]，归于C.Brueningsen。四个公式中没有单词的另一组证明出现在单独的页面J.Molokach的最新修改也已放置分别地.)

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