三角形各元素之间的关系

2S=ab sin（C）

这是从2S开始的=啊_一因为小时_一=b sin（C）。

S=rp

三角形ABC是三个三角形ABI、BCI、CAI与基数的并集AB=c， BC＝a，和AC=b，分别是。到这些基地的高度都有r的长度。

r²=p^-1个（p-a）（p-b）（p-c）

由S²=p（p-a）（p-b）（p-c）得出S=rp.

1/r=1/h_一+1个/小时_b+1个/小时_c（c）

2S=啊_一=bh_b=ch_c（c）因此，a=2S/h_一等。另一方面，S=rp，所以p=S/r，或（a+b+c）=2S/r。从这里开始，2秒/小时_一+2秒/小时_b+2秒/小时_c（c）=2S/r。

sin²（A/2）=（p-b）（p-c）/bc等。

首先，sin（A）=2·sin（A/2）cos（A/2。因此，

(1)	sin²（A/2）=sin（A）·tan（A/2）/2。

我们知道这一点

(2)	sin（A）=2S/bc

和

(3)	tan（A/2）=r/（p-A）.

组合（1）-（3）得到

sin²（A/2）=2S/bc·r/（p-A）·1/2。

考虑到S²=p（p-a）（p-b）（p-c）和r²=p^-1个（p-a）（p-b）（p-c），后者导致

sin²（A/2）=（p-b）（p-c）/bc。

cos²（A/2）=p（p-A）/bc等。

确实，来自sin²（A/2）=（p-b）（p-c）/bc,

	cos²（A/2）	=1-sin²（A/2）
		=1-（p-b）（p-c）/bc
		=（p（b+c）-p²）/bc
		=p（（2p-a）-p）/bc
		=p（p-a）/bc。

cos²[（C-B）/2]=[（B+C）²（p-B）（p-C）]/[a²bc]

这是前两种情况的结果。实际上，cos²[（C+B）/2]=sin²（A/2）。

cos²[（C-B）/2]-cos²[[（C+B）/2]=正弦（C）正弦（B）=4[ΔABC]²/（a²bc），

即。，

cos²[（C-B）/2]=sin²（A/2）+4p（p-A）（p-B）（p-C）/（A²bc）。

换句话说，

cos²[（C-B）/2]=（p-B）（p-C）/bc+4p（p-a）（p-B。

AI²=（p-a）bc/p

方形显而易见的

AI=r/sin（A/2）。

在那里替换sin²（A/2）=（p-b）（p-c）/bc和r²=p^-1个（p-a）（p-b）（p-c）:

人工智能² =p^-1个（p-a）（p-b）（p-c）bc/（p-b）（p-c）

=（p-a）bc/p。

bc·棕色（B/2）·棕色（C/2）

垂直校准AI=r/sin（A/2）并替换sin²（A/2）=（p-b）（p-c）/bc,我们获得

AI²=r²·bc/（p-b）（p-c）。

通过内部结构，tan（B/2）=r/（p-B）还有tan（C/2）=r/（p-C）。将这些替换为上述内容可提供所需的

AI²=bc·tan（B/2）·tan。

1/r=1/r_一+1个/年_b+1个/年_c（c）

正如我们所知,

S=r_一（p-a）=r_b（p-b）=r_c（c）（p-c）。

因此

1个/年_一+1个/年_b+1个/年_c（c） =（p-a）/S+（p-b）/S=（p-c）/S

=（3p-a-b-c）/秒

=（3p-2p）/秒

=p/S

=1/r，

自从S=rp.

第页_一+第页_b+第页_c（c）=r+4R

正如我们所知,

S=rp，

还有

S=r_一（p-a）=r_b（p-b）=r_c（c）（p-c）。

从这些我们有

(4)	第页_一+第页_b+第页_c（c）-r=S（1/（p-a）+1/（p-b）+1/（p-c）-1/p）。

简单代数产生

1/（p-a）+1/（p-b）=c/（p-a）（p-b）和
1/（p-c）-1/p=c/p（p-c）。

再多付出一点就会有很大的回报：

c/（p-a）（p-b）+c/p（p-c）=abc/p，

通过Heron公式总而言之，从（4）

(5)	第页_一+第页_b+第页_c（c）-r=S·abc/S²=abc/S。

然而，abc=4RS，因此（5）确切地暗示了需要什么：

第页_一+第页_b+第页_c（c）-r=abc/S=4R。

第页_一第页_b第页_c（c）=pS

自

S=r_一（p-a）=r_b（p-b）=r_c（c）（p-c），

我们立即获得

第页_一第页_b第页_c（c） =S^三/（p-a）（p-b）（p-c）

=S^三/[S²/p]，

通过Heron公式。但是

S公司^三/[S²/p]=Sp。

r+r=r（cos（A）+cos（B）+cos（C））

我们知道这一点

r+r_c（c）+第页_b-对_一=4Rcos（A），r+r_b+第页_一-第页_c（c）=4Rcos（C），r+r_一+对_c（c）-对_b=4Rcos（B）

因此3r+（r_一+第页_b第页_c（c）=4R（cos（A）+cos（B）+cos（C））。但是

第页_一+第页_b+第页_c（c）=r+4R

按要求组合成4r+4r=4r（cos（A）+cos（B）+cos（C））。

r（右）_一第页_b第页_c（c）=S²

这是以下情况的直接后果第页_一第页_b第页_c（c）=pS和rp=S.

我_一=4p（p-a）bc/（b+c）²

从以下位置开始我_一=2bc cos（A/2）/2和cos²（A/2）=p（p-A）/bc.

我_一=2bc cos（A/2）/（b+c）

应用正弦面积公式到三角形ABL_一和ACL_一然后我们看到整个ΔABC

bl（黑色）_一sin（A/2）/2+cl_一sin（A/2）/2=bc-sin（A）/2

这简化为

我_一=bc-sin（A）/（b+c）sin（A/2）=2bc-cos（A/2。

米_一²=（b²+c²）/2-a²/4

让我们使用斯图尔特定理

AB²·DC+AC²·BD-AD²·BC=BC·DC·BD

D是BC的中点M。则AB=c，DC=a/2，AC=b，BD=a/2和AD=m_一，BC=a。我们有，

c²·a/2+b²·a/2-m_一²·a=a·a/2·a/2。

（在余弦定理或平行四边形定律; 这是一个例子.)

abc=4RS

设AD是ΔABC及其高度AH的外接圆的直径。直角三角形AHC和ABD相似∠ADB=∠ACH。因此，

AH/AC=AB/AD。

换句话说，

2R·AH=AB·AC=bc。

最后

abc=2R·AH·a=4RS。

bc=2小时_一

这是根据前面的推导或通过替换S=啊_一/2最后的公式。

p=4Rcos（A/2）·cos（B/2）·cos（C/2）

由正弦定律

a=2R·sinA，b=2R·sinB，c=2R·正弦c，

因此

对 =R·（sinA+sinB+sinC）

=R·（sinA+sinB+sin（180°-A-B）

=R·（sinA+sinB+sin（A+B）

=R·（sinA+sinB+sinA·cosB+cosA·sinB）

=R·（sinA·（1+cosB）+sinB·（1+cosA））

=R·（2sin（A/2）cos（A/2

=4R·cos（A/2）cos（B/2）

=4R·cos（A/2）cos（B/2）sin（（A+B）/2）

=4R·cos（A/2）cos（B/2）sin（90°-C/2）

=4R·cos（A/2）cos（B/2）cos（C/2）。

S=2R²sin（A）·sin（B）·sin（C）

由正弦定律

a=2R·sinA，b=2R·sinB，

对于三角形的面积，我们有

2秒 =ab·sinC

=2RsinA·2RsinB·sinC

=4R²·sinA·sinB·sinC。

r=4Rsin（A/2）·sin（B/2）·正弦（C/2）

这直接来自

胶辊（A/2）+胶辊（B/2）+棉辊（C/2）=胶辊（1/2）·胶辊（B/2）·棉辊（C/2）

这相当于表明，对于A+B+C=180°，

cos（A/2）sin
=cos（A/2）cos（B/2）cos（C/2）。

让我们变换左侧：

cos（A/2）sin
=正弦（（A+B）/2）正弦（C/2）+正弦（A/2）正弦（B/2）cos（C/2。

但由于（A+B）/2 C=90°-C/2，这等于

cos（C/2）sin（C/2。

反转步骤：

sin（C/2）+sin（A/2）sin（B/2） =cos（（A+B）/2）+sin（A/2）sin（B/2）

=cos（A/2）cos（B/2）-sin（A/2

=cos（A/2）cos（B/2）。

把一切结合在一起，我们就得到了想要的身份。

rR=abc/4p

r²=p^-1个（p-a）（p-b）（p-c）等于

第页=√D类/第页，

其中D=p（p-a）（p-b）（p-c）。阿尔索,

R=abc/4√D类.

将两者相乘得出

rR=abc/4p。

请注意，手边的恒等式也通过组合S=rp具有abc=4RS.

AH=2R·|cos（A）|

在ΔABH中，如果A<90°，∠ABH=90°-∠A。（这是因为ΔABH_b是正确的。）应用正弦定律ΔABH给出，

AH/sin（∠ABH） =AB/sin（180°-∠C）

=AB/sin（∠C）

=2R

来自ΔABC中应用的商业法。因此

2R型 =AH/sin（∠ABH）

=AH/sin（90°-∠A）

=AH/cos（∠A），

它证明了断言AH=2R·|cos（A）| whenA<90°。

对于∠A钝的情况，H落在ΔABC之外，∠ABH=∠A-90°所以最后我们会AH=-2R·cos（A），证明AH=2R·|cos（A）|在这种情况下也是如此。

p²=r_一第页_b+第页_b第页_c（c）+第页_c（c）第页_一

正如我们所知，第个_一=S/（p-a）。由此可见

第页_一第页_b+第页_b第页_c（c）+第页_c（c）第页_一=S²（1/[（p-b）（p-c）]+1/[（p-c）（p-a）]+1/[，

通过Heron公式.

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人工智能²	=p^-1个（p-a）（p-b）（p-c）bc/（p-b）（p-c）
	=（p-a）bc/p。

1个/年_一+1个/年_b+1个/年_c（c）	=（p-a）/S+（p-b）/S=（p-c）/S
	=（3p-a-b-c）/秒
	=（3p-2p）/秒
	=p/S
	=1/r，

第页_一第页_b第页_c（c）	=S^三/（p-a）（p-b）（p-c）
	=S^三/[S²/p]，

对	=R·（sinA+sinB+sinC）
	=R·（sinA+sinB+sin（180°-A-B）
	=R·（sinA+sinB+sin（A+B）
	=R·（sinA+sinB+sinA·cosB+cosA·sinB）
	=R·（sinA·（1+cosB）+sinB·（1+cosA））
	=R·（2sin（A/2）cos（A/2
	=4R·cos（A/2）cos（B/2）
	=4R·cos（A/2）cos（B/2）sin（（A+B）/2）
	=4R·cos（A/2）cos（B/2）sin（90°-C/2）
	=4R·cos（A/2）cos（B/2）cos（C/2）。

2秒	=ab·sinC
	=2RsinA·2RsinB·sinC
	=4R²·sinA·sinB·sinC。

sin（C/2）+sin（A/2）sin（B/2）	=cos（（A+B）/2）+sin（A/2）sin（B/2）
	=cos（A/2）cos（B/2）-sin（A/2
	=cos（A/2）cos（B/2）。

	AH/sin（∠ABH）	=AB/sin（180°-∠C）
		=AB/sin（∠C）
		=2R

	2R型	=AH/sin（∠ABH）
		=AH/sin（90°-∠A）
		=AH/cos（∠A），

三角形各元素之间的关系

2S=ab sin（C）

S=rp

r²=p-1个（p-a）（p-b）（p-c）

1/r=1/h一+1个/小时b+1个/小时c（c）

sin²（A/2）=（p-b）（p-c）/bc等。

cos²（A/2）=p（p-A）/bc等。

cos²[（C-B）/2]=[（B+C）²（p-B）（p-C）]/[a²bc]

AI²=（p-a）bc/p

bc·棕色（B/2）·棕色（C/2）

1/r=1/r一+1个/年b+1个/年c（c）

第页一+第页b+第页c（c）=r+4R

第页一第页b第页c（c）=pS

r+r=r（cos（A）+cos（B）+cos（C））

r（右）一第页b第页c（c）=S²

我一=4p（p-a）bc/（b+c）²

我一=2bc cos（A/2）/（b+c）

米一²=（b²+c²）/2-a²/4

abc=4RS

bc=2小时一

p=4Rcos（A/2）·cos（B/2）·cos（C/2）

S=2R²sin（A）·sin（B）·sin（C）

r=4Rsin（A/2）·sin（B/2）·正弦（C/2）

胶辊（A/2）+胶辊（B/2）+棉辊（C/2）=胶辊（1/2）·胶辊（B/2）·棉辊（C/2）

rR=abc/4p

AH=2R·|cos（A）|

p²=r一第页b+第页b第页c（c）+第页c（c）第页一

r²=p^-1个（p-a）（p-b）（p-c）

1/r=1/h_一+1个/小时_b+1个/小时_c（c）

1/r=1/r_一+1个/年_b+1个/年_c（c）

第页_一+第页_b+第页_c（c）=r+4R

第页_一第页_b第页_c（c）=pS

r（右）_一第页_b第页_c（c）=S²

我_一=4p（p-a）bc/（b+c）²

我_一=2bc cos（A/2）/（b+c）

米_一²=（b²+c²）/2-a²/4

bc=2小时_一

p²=r_一第页_b+第页_b第页_c（c）+第页_c（c）第页_一