三角形各元素之间的关系
2S=ab sin(C)
这是从2S开始的=啊一因为小时一=b sin(C)。
S=rp
三角形ABC是三个三角形ABI、BCI、CAI与基数的并集AB=c, BC=a,和AC=b,分别是。到这些基地的高度都有r的长度。
r²=p-1(p-a)(p-b)(p-c)
由S²=p(p-a)(p-b)(p-c)得出S=rp.
1/r=1/h一+1个/小时b条+1个/小时c
2S=啊一=bhb条=chc因此,a=2S/h一等。另一方面,S=rp,所以p=S/r,或(a+b+c)=2S/r。从这里开始,2秒/小时一+2秒/小时b条+2秒/小时c=2S/r。
sin²(A/2)=(p-b)(p-c)/bc等。
首先,sin(A)=2·sin(A/2)cos(A/2。因此,
(1) | sin²(A/2)=sin(A)·tan(A/2)/2。 |
我们知道这一点
和
结合(1)-(3)给出
sin²(A/2)=2S/bc·r/(p-A)·1/2。
考虑到S²=p(p-a)(p-b)(p-c)和r²=p-1(p-a)(p-b)(p-c),后者导致
sin²(A/2)=(p-b)(p-c)/bc。
cos²(A/2)=p(p-A)/bc等。
确实,来自sin²(A/2)=(p-b)(p-c)/bc,
| cos²(A/2) | =1-sin²(A/2) |
| | =1-(p-b)(p-c)/bc |
| | =(p(b+c)-p²)/bc |
| | =p((2p-a)-p)/bc |
| | =p(p-a)/bc。 |
cos²[(C-B)/2]=[(B+C)²(p-B)(p-C)]/[a²bc]
这是前两种情况的结果。实际上,cos²[(C+B)/2]=sin²(A/2)。
cos²[(C-B)/2]-cos²[[(C+B)/2]=正弦(C)正弦(B)=4[ΔABC]²/(a²bc),
即。,
cos²[(C-B)/2]=sin²(A/2)+4p(p-A)(p-B)(p-C)/(A²bc)。
换句话说,
cos²[(C-B)/2]=(p-B)(p-C)/bc+4p(p-a)(p-B。
AI²=(p-a)bc/p
方形显而易见的
AI=r/sin(A/2)。
在那里替换sin²(A/2)=(p-b)(p-c)/bc和r²=p-1(p-a)(p-b)(p-c):
人工智能² | =p-1(p-a)(p-b)(p-c)bc/(p-b)(p-c) |
| =(p-a)bc/p。 |
bc·tan(B/2)·tan(C/2)
垂直校准AI=r/sin(A/2)以及替换sin²(A/2)=(p-b)(p-c)/bc,我们获得
AI²=r²·bc/(p-b)(p-c)。
通过内部结构,tan(B/2)=r/(p-B)还有tan(C/2)=r/(p-C)。将这些替换为上述内容可提供所需的
AI²=bc·tan(B/2)·tan。
1/r=1/r一+1个/年b条+1个/年c
正如我们所知,
S=r一(p-a)=rb条(p-b)=rc(p-c)。
因此
1个/年一+1个/年b条+1个/年c | =(p-a)/S+(p-b)/S=(p-c)/S |
| =(3p-a-b-c)/秒 |
| =(3p-2p)/秒 |
| =p/S |
| =1/r, |
自从S=rp.
第页一+第页b条+第页c=r+4R
正如我们所知,
S=rp,
还有
S=r一(p-a)=rb条(p-b)=rc(p-c)。
从这些我们有
(4) | 第页一+第页b条+第页c-r=S(1/(p-a)+1/(p-b)+1/(p-c)-1/p)。 |
简单代数产生
1/(p-a)+1/(p-b)=c/(p-a)(p-b)和
1/(p-c)-1/p=c/p(p-c)。
再多付出一点就会有很大的回报:
c/(p-a)(p-b)+c/p(p-c)=abc/p,
通过Heron公式总而言之,从(4)
(5) | 第页一+第页b条+第页c-r=S·abc/S²=abc/S。 |
然而,abc=4RS,因此(5)确切地暗示了需要什么:
第页一+第页b条+第页c-r=abc/S=4R。
第页一第页b条第页c=pS
自
S=r一(p-a)=rb条(p-b)=rc(p-c),
我们立即获得
第页一第页b条第页c | =秒三/(p-a)(p-b)(p-c) |
| =秒三/[S²/p], |
通过Heron公式.但是
S公司三/[S²/p]=Sp。
r+r=r(cos(A)+cos(B)+cos(C))
我们知道这一点
r+rc+第页b条-第页一=4Rcos(A),r+rb条+第页一-第页c=4Rcos(C),r+r一+第页c-第页b条=4Rcos(B)
因此3r+(r一+第页b条第页c=4R(cos(A)+cos(B)+cos(C))。但是
第页一+第页b条+第页c=r+4R
按要求组合成4r+4r=4r(cos(A)+cos(B)+cos(C))。
r(右)一第页b条第页c=平方米
这是以下情况的直接后果第页一第页b条第页c=pS和rp=秒.
我一=4p(p-a)bc/(b+c)²
从开始我一=2bc cos(A/2)/2和cos²(A/2)=p(p-A)/bc.
我一=2bc cos(A/2)/(b+c)
应用正弦面积公式到三角形ABL一和ACL一然后我们看到整个ΔABC
bl(黑色)一sin(A/2)/2+cl一sin(A/2)/2=bc-sin(A)/2
这简化为
我一=bc-sin(A)/(b+c)sin(A/2)=2bc-cos(A/2。
米一²=(b²+c²)/2-a²/4
让我们使用斯图尔特定理
AB²·DC+AC²·BD-AD²·BC=BC·DC·BD
D是BC的中点M。则AB=c,DC=a/2,AC=b,BD=a/2和AD=m一,BC=a。我们有,
c²·a/2+b²·a/2-m一²·a=a·a/2·a/2。
(在余弦定理或平行四边形定律; 这是一个例子.)
abc=4RS
设AD是ΔABC及其高度AH的外接圆的直径。直角三角形AHC和ABD相似∠ADB=∠ACH。因此,
AH/AC=AB/AD。
换句话说,
2R·AH=AB·AC=bc。
最后
abc=2R·AH·a=4RS。
bc=2小时一
这是根据前面的推导或通过替换S=啊一/2最后的公式。
p=4Rcos(A/2)·cos(B/2)·cos(C/2)
由正弦定律
a=2R·sinA,b=2R·sinB,c=2R·sinC,
以便
第页 | =R·(sinA+sinB+sinC) |
| =R·(sinA+sinB+sin(180°-A-B) |
| =R·(sinA+sinB+sin(A+B) |
| =R·(sinA+sinB+sinA·cosB+cosA·sinB) |
| =R·(sinA·(1+cosB)+sinB·(1+cosA)) |
| =R·(2sin(A/2)cos(A/2 |
| =4R·cos(A/2)cos(B/2) |
| =4R·cos(A/2)cos(B/2)sin((A+B)/2) |
| =4R·cos(A/2)cos(B/2)sin(90°-C/2) |
| =4R·cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)。 |
S=2R²sin(A)·sin(B)·sin(C)
由正弦定律
a=2R·sinA,b=2R·sinB,
对于三角形的面积,我们有
2秒 | =ab·sinC |
| =2RsinA·2RsinB·sinC |
| =4R²·sinA·sinB·sinC。 |
r=4Rsin(A/2)·sin(B/2)·正弦(C/2)
这直接源于
- S=rp,
- p=4Rcos(A/2)·cos(B/2)·cos(C/2)、和
- S=2R²sin(A)·sin(B)·sin(C).
胶辊(A/2)+胶辊(B/2)+棉辊(C/2)=胶辊(1/2)·胶辊(B/2)·棉辊(C/2)
这相当于表明,对于A+B+C=180°,
cos(A/2)sin
=cos(A/2)cos(B/2)cos(C/2)。
让我们变换左侧:
cos(A/2)sin
=正弦((A+B)/2)正弦(C/2)+正弦(A/2)正弦(B/2)cos(C/2。
但由于(A+B)/2 C=90°-C/2,这等于
cos(C/2)sin(C/2。
反转步骤:
sin(C/2)+sin(A/2)sin(B/2) | =cos((A+B)/2)+sin(A/2)sin(B/2) |
| =cos(A/2)cos(B/2)-sin(A/2 |
| =cos(A/2)cos(B/2)。 |
把一切结合在一起,我们就得到了想要的身份。
rR=abc/4p
r²=p-1(p-a)(p-b)(p-c)等于
第页=√D类/第页,
其中D=p(p-a)(p-b)(p-c)。阿尔索,
R=abc/4√D类.
将两者相乘得出
rR=abc/4p。
请注意,手边的恒等式也通过组合S=rp具有abc=4RS.
AH=2R·|cos(A)|
在ΔABH中,如果A<90°,∠ABH=90°-∠A。(这是因为ΔABHb条是正确的。)应用正弦定律ΔABH给出,
| AH/sin(∠ABH) | =AB/sin(180°-∠C) |
| | =AB/sin(∠C) |
| | =2R |
来自ΔABC中应用的商业法。因此
| 2R型 | =AH/sin(∠ABH) |
| | =AH/sin(90°-∠A) |
| | =AH/cos(∠A), |
它证明了断言AH=2R·|cos(A)| whenA<90°。
对于∠A钝的情况,H落在ΔABC之外,∠ABH=∠A-90°所以最后我们会AH=-2R·cos(A),证明AH=2R·|cos(A)|在这种情况下也是如此。
p²=r一第页b条+第页b条第页c+第页c第页一
正如我们所知,第个一=S/(p-a)。由此可见
第页一第页b条+第页b条第页c+第页c第页一=S²(1/[(p-b)(p-c)]+1/[(p-c)(p-a)]+1/[,
通过Heron公式.
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