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亚历克斯·博戈莫尼

1998年12月

弗兰克·莫利（Frank Morley）将因他在1900年之前发现的一个定理而被人们铭记，但直到几年后，他才在印刷品上发表这一定理[莫利（1924，1929）]。在1934年8月写给Gino Loria的一封信中，Morley写道

确切的消息来源是F.Morley日本中学数学协会1924年12月，第6卷。

我在“克利福德链定理的推广”中也提到了这个定理，美国数学杂志1929年7月，第51卷。

1904年左右，我向英国剑桥的朋友们提到了这个定理，但由于它是一个理论的一部分，所以我没有发表论文。因此，它被公开了，日语中的引用是不我认为是印刷品中的第一份参考文献。

有关定理的简短历史，请参见[Oakley和Baker]。早期的参考文献中没有提到莫利的名字，而且似乎随着定理的普及，莫利感到不得不宣称自己是作者。但即便如此，他也无法将定理与导致定理的理论分离开来

我建议更全面地阐述我论文最后一节“平面n线的公制几何”中所隐含的内容美国数学学会会刊第1卷（1900年），第115页。我将其称为M.G.首先，让我们回顾一下克利福德定理，作品第51页。

这个定理非正式地用一个段落在论文的中间。为什么除了基本理论之外，这种不愿陈述令人惊讶的结果的态度？数学家们因公布新证明的结果而茁壮成长。证据和理论经历了不断的蜕变：一些被简化，另一些被概括，但其他被发现应用于意想不到的领域——例子比比皆是。因此，通常一个好的定理值得关注，因为它本身的内容，独立于特定的证明或导致它的理论。

莫利的研究是从斯坦纳、坎特和克利福德的关联结果开始的，这些结果本身就是几何学中最有趣的。他的方法不仅导致了强有力的概括，而且以一种最优雅的方式做到了这一点。莫利做得很彻底。他将自己的方法应用于外接圆和内接圆，研究了它们的中心的夹角以及它们与其他圆的交点，从圆移动到更高阶的曲线。他可能觉得自己坐在一个充满数学奇观的宝藏上。其中一个奇迹——一个更普遍结果的偶然结果——让人觉得有点不合时宜。他是否认为，如果脱离上下文，这个定理会失去很多魅力和动力？或者，也许他不想转移人们对其他结果的注意力？我们现在不能说。但让我们看一看莫利的作品样本。

首先，他的研究对象是平面n线即平面上的n条线的集合。术语n线强调了我们对n行可能具有的属性的兴趣整体当然，研究得最好的情况是n=3。一般来说，三条线在三点相交。所有三个点（外接圆). 这个内圆和3外圆每一个都接触到三条线。这个插入器与连接顶点的三条线中的每一条线都相关超中心。这是正心等。

一条4线包含四条3线。这个4个圆周相交在某一点上(Miquel的观点)它们的中心在一个圆上(斯坦纳圆). 从一条5线到五条4线；斯坦纳圆的中心位于一个圆上(坎特圆.）所有这些圆的通用术语是中心圆。从6行到6行5条线和6个中心位于一个圆上的中心圆。

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另一方面，5条直线的5个Miquel点位于一个圆上(克利福德圆)，6个克利福德的6线圆圈在一点相交(克利福德的观点7克利福德的7条直线的点位于克利福德的圆圈上。8个8线克利福德圆在克利福德点相交，以此类推。整个配置称为克利福德链条.

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回到相交于一点（例如P）且其中心位于圆上的中心圆，即圆层次中的下一个中心圆。点P也与后一个中心圆有关。这就是心形作为信封属于圈子家族。毫不奇怪，中心圆的共同点位于心形的尖端。

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这只是开始。Morley的理论在三篇论文的篇幅内发展而来【Morley（190019031907）】。只有在第二个版本中，他使用了现在标准的理论证明风格。那篇论文中的定理有10个。其他两篇文章中有这么多陈述。我会回到莫利三扇形定理在另一页上，但现在，让我们来看一下莫利方法的代数。

是的，考虑到他的理论的所有几何背景，莫利的方法是纯粹的代数方法，建立在复数理论的基础上。曲线是从单位圆x=f（t）的映射。x=x+iY，其中x和Y是平面笛卡尔坐标。y=X-iY是结合x的，和x，y一起被称为圆形坐标在飞机上。单位圆上复数t的短期为转。这些符号中的圆圈由线性方程给出：

(1)

x=一个₁-一个₂t、，

一₁成为中心和₂|圆的半径。直线由原点在该直线上的点反射定义。线段[0，x的垂直平分线₁]由以下方程给出

(2)

x=x₁吨₁/（t）₁-t），

其中t₁是任意转弯。（这是一个莫比乌斯变换这需要t₁到无穷大，0到x₁.）t₁以独特的方式选择

(3)

吨₁=y₁/x₁.

选择t₁，（2）成为

(4)

xt（文本）₁+y=x₁吨₁.

两条线路

xt（文本）₁+y=x₁吨₁
xt（文本）₂+y=x₂吨₂.

在该地点汇合

x个₁₂=x₁吨₁/（t）₁-t吨₂)+x个₂吨₂/（t）₂-t吨₁).

对于x定义的三条线₁，x个₂、和x_三，考虑这个圆

(5)

对于t=t_三，（5）中的右侧变为x₁₂因此，圆穿过直线#1和#2的交点，同样地，也穿过三条直线的其他两个交点。因此，这是3线的外接圆。它的中心a₁和半径|a₂|由提供

(6)

通过归纳法，（5）概括为

(5')

它是以a为中心的n条直线的中心圆₁和半径|a₂|根据确定

(6')

这显然是因为f_n个（t）_k)减少到₁评估n-1分x₁, ..., x个_k-1号机组，x个_{k+1（千分之一）}, ..., x个_n个.

n线中心圆的公式（5'）具有优雅和清晰，不太可能从图形说明中受益。页面顶部小程序的自然限制只强调了（5'）中固有的通用性。随着新技术的出现，我们成为了更好的涂鸦者。我们预计新的实践经验将有助于激发热情激发学生的想象力，使数学更具吸引力。莫利的理论提醒我们，通过对数学语言的学习和理解，至少可以通过传统的方式获得对数学的一些欣赏。

莫利继续定义特征常数n线。

(7)

其中，为了简单起见，对行数n的依赖性只是隐式的。通过省略x线，从给定n线获得的（n-1）线的特征常数₁依次等于

一₁-一个₂吨₁，一个₂-一个_三吨₁, ..., 一_n-1个-一个_n个吨₁.

如果两条线x₁和x₂则剩余（n-2）线的特征常数变为

一₁-一个₂（t）₁+t吨₂)+a个_三吨₁吨₂，一个₂-一个_三（t）₁+t吨₂)+a个₄吨₁吨₂, ...

考虑以下等式：

x=一个₁-一个₂（t）₁+t吨₂)+a个_三吨₁吨₂

这是通过省略线x获得的（n-2）-线的中心圆的中心₁和x₂.更换t₂带有t:

x=一个₁-一个₂（t）₁+t）+a_三吨₁吨

这是通过省略x得到的（n-1）线的中心圆方程₁让我们展示n个圆

(8)

x=一个₁-一个₂（t）_k+t）+a_三吨_kt、 k=1，2。。。，n个

所有人都在某一点上相遇。当₂=0，它们都是同一个圆。假设，a₂≠0且设x=a₁-a个₂b条_三/b条₂.（常数b_我是常数a的各自共轭_我因此_我，b个_我形成一对圆形坐标。）（8）然后变成

0=b_三/b₂-（t）_k+t）+t_k助教_三/一个₂，k=1，2。。。，n个

当求解t时，会得到一个圈数，即单位圆的圈数。因此，所有圆（8）都通过点x=a₁-a个₂b条_三/b条₂.

工具书类

F.Morley，关于N线的度量几何，Trans-Amer数学学会，1（1900）97-115。
F.Morley，平面n线的正交性质《Trans-Amer Math Soc》，4（1903）1-12。
F.Morley，关于自反几何《Trans-Amer Math Soc》，8（1907）14-24。
F.Morley，在日本中学数学协会第6版，1924年12月。
F.Morley，克利福德链定理的推广，Amer J Math，51（1929）465-472。
G.Loria，英寸数学公报, 23 (1939) 364-372.
C.O.Oakley和J.C.Baker，莫利三扇形定理《美国数学月刊》，85（1978）737-745。

莫利的奇迹

论莫利及其定理

反向证明

三角证明

合成证据

代数证明

莫利的重演和更多，阿兰·康纳斯的证明

无效的证明

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