莫利的奇迹
一百多年前的1899年,法兰克·莫雷,当时哈弗福德学院数学教授,发现了一个令人惊讶的结果,它以“莫利的奇迹莫利的奇妙定理表明
任何三角形的角的相邻三矢量的三个交点构成一个等边三角形。
下面的小程序用于证明,实际上,无论给定三角形的形状如何,莫利三角形总是等边的。
莫利的原始证明源于他关于与给定数量直线相切的代数曲线的结果。与数学中的通常情况一样,人们曾多次尝试寻找一个简单的初等证明,以满足掌握定理陈述所需的知识水平和熟练程度。最简单的证明从等边三角形开始向后进行。它们在后续步骤中有所不同。大多数这样的证明都突出了配置的一些附加特性,但正如一些最琐碎的证明令人信服地证明的那样,使事情变得不必要地复杂。
在给出几个向后的这是一个直接的证明,虽然逻辑上完全透明,但需要一些高中三角。
证据#1
很可能,这一证据首次出现在A.Letac中,解决方案(莫利三角形)《第490号问题》,《狮身人面像》,9(1939)46。我在一本俄文书D.O.Shklyarsky、N.N.Chentsov、Y.M.Yaglom、,初等数学选题与定理第2节第97题,莫斯科,1952年,也在数学的艺术B.Bollobás著(剑桥大学出版社,2006年,第126-127页)
证明的想法相当简单。
在三角形$ARB、$$BPC、$$CQA、$中,我们知道基-$AB、$$BC、$和$AC$以及相邻的角。这个正弦定律然后生成段$AR、$$BR、$$BP、$$CP、$$CQ、$和$AQ$
接下来,我们应用余弦定律三角形$AQR、$$BPR、$和$CPQ$,以确定(并比较)段$QR、$$PR、$和$PQ.$它们相等的事实证明了这个定理。
为了简单起见,让(角度)$A=3\alpha,$$B=3\beta,$和$C=3\gamma.$这意味着$\alpha+\beta+\gamma=60^{\circ}.$此外,假设围绕$\Delta ABC$的圆半径等于$1,$we得到$AB=2\sin(3\gamma),$$BC=2\sin$
现在考虑$\Delta BPC.$由正弦定律,
$\开始{align}\显示样式\压裂{BP}{\sin(\gamma)}&=\frac{BC}{\sin(180^{\circ}-\beta-\gamma)}\\&=2\frac{\sin(3\alpha)}{\sin(beta+\gamma)}\\&=2\frac{\sin(3\alpha)}{\sin(60^{\circ}-\alpha)}。\结束{对齐}$
因此,$\displaystyle BP=2\frac{\sin(3\alpha)\sin(\gamma)}{\sin要简化表达式,请注意
$\开始{align}\sin(3\alpha)&=3\sin(\alpha)-4\sin^{3}(\alpha)\\&=4\sin(\alpha)[(\sqrt{3}/2)^{2}-\sin^{2{(\alpha)]\\&=4\sin(\alpha)[\sin^{2}(60^{\circ})-\sin^}2}\\&=4\sin(\alpha)(\sin(60^{\circ})+\sin(\ alpha\\&=4\sin(\alpha)2\sin[(60^{\circ}+\alpha-)/2]\cos[(60_{\cic}-\alpha/)/2]2\sin[(60~{\circ}-\alpha)/2]\ cos[\\&=4\sin(\alpha)\sin(60^{\circ}+\alpha)\sin。\结束{对齐}$
收获了这一努力的成果,
$BP=8\sin(\alpha)\sin(\gamma)\sin(60^{\circ}+\alpha.)$
同样,
$BR=8\sin(\gamma)\sin(\alpha)\sin(60^{\circ}+\gamma.)$
有两种方法可以继续进行第二步。上述参考中使用的传统方法调用余弦定律最近的一次,由于Leo Giugiuc,利用了正弦定律.我继续使用传统的证明,而Leo的证明应该是单独处理.
我们在$\Delta BPR中引用余弦定律:$
$PR^{2}=BP^{2{+BR^{2neneneep-2 BP\cdot BR\cos(\beta)$
从哪里
$PR^{2}=64\sin^{2{(\alpha)\sin^}2}(\gamma)[\sin^{2neneneep(60^{\circ}+\alpha)+\sin^_2}(60^}\circ{+\gamma)-2\sin$
但是请注意,$(60^{\circ}+\alpha)+(60^}\circ{+\gamma)+\beta=180^{\circ}.$因此,存在一个三角形,其角度为$(60^{circ}+\alpha)、$$(60_{circ{+\gamma)、$和$\beta.$事实上,有一整套类似的三角形具有这些角度。从这个系列中,选择外接半径等于$1$的那一个(然后,如上所述,通过正弦定律,其边的形状非常简单。)在该三角形中,应用余弦定律:
$\sin^{2}(\beta)=\sin^}2}$
这给了我们
$PR=8\sin(α)\sin(β)\sin$
在$\alpha、$$\beta、$和$\gamma.$中对称的表达式$QR$和$PQ$类似地被发现等于相同的表达式。因此,$PR=PQ=QR$
莫利的奇迹
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