三角形V中的一个不等式
证明
三角形中的不等式 帕多亚不平等 $（abc（a+b-c）（b+c-a）（c+a-b））$ Padoa不等式的改进 $\左（\显示样式 \prod_｛cycl｝（a+b-c）\le 2\min_｛cycl｝\｛a\cdot\frac｛b^2c^2｝｛b^2+c^2｝\｝\le 2\max_｛cycl｝\｛a\cdot\frac｛b^2c^2｝｛b^2+c^2｝\｝\ le abc\right）$
Erdos-Mordell不等式 $（OA+OB+OC\ge 2（OP+OQ+OR） )$ 从三角形不等式到三角形不等式 $（最大值A、B、C、D、E、F）$ 三角形中的面积不等式 $（[\Delta NAP]\le\frac{1}{4}[\Delta-ABC]）$ 三三角形中的面积不等式 $\显示样式2（\sqrt{S_1}+\sqrt{S2}+\scrt{S_3}）^2\lt\sum_ {循环}a1 ^2+\总和_ {循环}a2 ^2+\总和_ {循环}a3 ^2.$ 三角形中的面积不等式II $（[PBF]\le\frac{1}{6}）$ 三角形中的一个不等式 $（a^3b+b^3c+c^3a-a^2b^2-b^2c^2-c^2a^2\ge 0）$ 三角形中的一个不等式，II $（m_al_a+m_bl_b+m_cl_c\ge p^2）$ 三角形III中的一个不等式 $\显示样式\左（\frac{a（b+c）}{bc\cdot\cos^2\frac{a}{2}}+\frac{b（c+a）}{ca\cdot\ cos^2\frac{b}{2{}+\frac{c（a+b）}{ab\cdot\scos^2 \frac}{c}{2neneneep}\ge 8\right）$ 三角形IV中的一个不等式 $\左（\开始{align}\sqrt{2}&\左[\sqrt{p（p-a）}+\sqrt}p（p-b）}+\sqrt{p（p-c）}\right]\\ &\le\sqrt{p^2-ma^2}+\sqrt（p^2-mb^2}+）$ 三角形V中的一个不等式 $（m_am_bm_c\ge r_ar_br_c）$ 三角形中的一个不等式，VI $\displaystyle\left（\frac{h_a\cdoth_b}{ha+hb}\right）\lth_c\left（\frac{h_a\tdoth_b}{|ha-hb|}\rift）$ 三角形中的一个不等式，Ⅶ $\显示样式\左（\左（\sum_{cycle}\frac{ma^2}{m_b^2}\right）\左（\sum_ {循环}x ^2\right）+2\ left（\sum_{cycle}\frac{ma}{mc}\right）\left（\sum_ {循环}xy \右）\ge 0\right）$ 三角形中的一个不等式，VIII $\displaystyle\left（\sum_｛cycl｝\frac｛5a^2-b^2-c^2｝｛\sqrt｛m_bm_c｝｝\le 4\sum_ {循环}ma \右侧）$ 三角形中的一个不等式，IX $\displaystyle\left（27\prod_ {循环}IA “\cdot HA”“\le\frac{1}{27}\prod_{cycle}\ell_ah_a\right）$ 三角形X中的一个不等式 $\显示样式\左（\frac{1}{r^2}\sum_ {cycle}循环 ^3\cos B\cos C\ge 16\left（\sum_{cycle}\sin A\right）\left$ 三角形XI中的一个不等式 $\左（3（a^2+b^2+c^2）\lt 4（am_c+bm_a+cm_b）\right）$ 三角形不等式：边和角平分线 $\left（\显示样式a+b+c\ge\frac{2\sqrt{3}}{3}（la+lb+lc）\right）$ 韦岑伯克不等式 $（a^2+b^2+c^2\ge 4\sqrt） {3} S公司 )$ Ionescu-Weitzenbock不等式的两个改进 $（a^2+b^2+c^2\ge2\sqrt{3}\max\{am_a，bm_b，cm_c\}）$ Ionescu-Weitzenbock不等式的另一个精化 $（\显示样式a^2+b^2+c^2-4\sqrt {3} 秒 \ge2\sqrt{3}（m_a^2-h_a^2）$ Ionescu-Weitzenbock不等式的早期改进 $（显示样式a^2+b^2+c^2-（a-b）^2-（b-c）^2-（c-a）^2\ge 4\sqrt {3} S公司 )$ 桑切斯的魏岑博克 $（[ABC]（1+\sqrt{3}]\le[ANBMCP]）$
涉及四个基本中心的三角形不等式 $\left（\displaystyle\sum_｛cycl｝（AH+2\cdot AI+3\cdot AO+4\cdot AG）\ge 60r\right）$ 由Ceva定理导出的锐角三角形中的一个不等式 $\displaystyle\left（AB'\cdot BC'\cdot-CA'+AB''\cdot-BC''\cdot-CA'''+AB''''\cdot-BC''''\cdot CA''''\le\frac{3} {8} 美国广播公司 \右侧）$ Crux Mathematicorum的4020题 $（[MNP]\le[DEF]）$ 一个双三角形不等式 $（a^2（-a'^2+b'^2+c'^2）+b^2（a'^2-b'^2+c'^2）+c^2（a'^2+b'^2-c'^2）\ge 16KK'）$ 一个双三角形不等式II $\左（\显示样式\frac{a+b+c}{3\sqrt {3} R（右） }\le\frac{\displaystyle\cos\frac{A}{2}+\cos\frac{B}{2{+\cos/frac{C}{2neneneep{\disposystyle\\cos\frac{A'}{2neneneei+\cos\frac}B'}{2}+\cos\frac}C'}{2}}\le\frac{3\sqrt {3} R（右） '}{a'+b'+c'}\右）$ 圆圈上的点：另一种外观 $\左（\显示样式5r\le\frac{PA^2}{h_a}+\ frac{PB^2}}{h_b}+\压裂{PC^2}{h_c}\le\frac{5} {2} R（右） \右侧）$ 一个全归纳不等式 $\ left（\显示样式\ frac{m_am_bm_c}{r_ar_br_c}+\ frac}\ell_a\ell_b\ell_c}{h_ah_bh_c}\leq\frac{r}{r}\right）$ 一个全归纳不等式II $\left（\displaystyle\left（\sum_{cycle}\sqrt{\frac{ma}{\ell_a}}\right）\left$ 与根、平方和面积的不等式 $（\displaystyle\sqrt{2}（PA+PB+PC）\ge\sqrt{a^2+b^2+c^2+4\sqrt {3} S公司 })$ 三角形中的一个单边不等式 $\left（\显示样式BA‘\cdot CB’\cdot AC’+BA’‘\cdot-CB’’\cdot-AC’‘+BA’’\cdot-CB‘’\cdote-AC’’’\lt\frac{3abc}{8}\right）$ 丹·西塔鲁的切线不等式 $（\displaystyle\sum_｛cycl｝\sqrt[3]｛\tan A｝\sqrt[3]｛\tan B｝（\sqrt[3]｛\tan A｝+\sqrt[3]｛\tan B｝）\le 2\tan A\tan B\tan C）$ 丹·西塔鲁的切线不等式II $（显示样式和循环）$ 丹·西塔鲁的根与权不平等 $（显示样式（\sqrt{a}+\sqrt{b}+\scrt{c}）^4（\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\scrt[3]）^6\ge2^43^9S^2）$ 三角形中的一个循环不等式 $\左（\显示样式\sum_{cycle}\frac{a^3（2s-a）}{b（2s-b）}\ge\ frac{27a^2b^2c^2}{s^2}\右）$ 三角形II中的一个循环不等式 $\ left（\显示样式\ sqrt{abc}\ left）^2 \ ge 16（\ sqrt{a}+\ sqart{b}+\ frac{b^2}{\ sqrt{c}}+\ frac{c^2}{\ squart{a}}\ right）^2$ 立方体和立方根不等式 $（\displaystyle\sum_{cycle}（\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]） ｛b｝- \广场[3]{c}）^3\ge\sqrt[3]{3a}+\sqrt[3]{3b}+\squart[3] {3c}-2 )$ 切线、余切和平方根不等式 $（\displaystyle\left（\sum_{cycle}\sqrt{\cotA\cotB}\right）\left（\sum_{cycle}\sqrt{\tan A\cot B}\right）\ge 3\sqrt}）$ 一个带正弦的不等式 $\left（\displaystyle\prod_｛cycl｝\left（\ frac｛2｝｛\sin A｝-1\ right）\ ge\left（\ frac｛6｝｛\sin A+\ sin B+\ sin C｝-1\ right）^3\ right）$ 带正弦的三角形不等式II $\left（\displaystyle\left（\sum_{cycle}\frac{\sinA}{\sinB}\right）\left$ $\left（\显示样式\sin^22A+\sin^22 B+\sin ^22 C\le\sin ^2A+\sin ^2B+\sins ^2C\right）$ 一个带切线和余切的不等式 $\left（\displaystyle\prod_{cycle}\left）\ge\frac{1000}{27}\right（\tan\frac}A}{2}\tan\frac{B}{2{+\cot\frac{A}{2\cot\frac{B}2}\rift）$ 带有边和中间值的不等式 $（2m_a\le bm_c+cm_b）$ 边和中线三角形中的一个不等式II $\left（\displaystyle 16\sum\Bigr（\frac{m_a}{m_c}+\frac}{m_b}{m.c}\Biger）^4\gt 81\Biggl（\Biger（\frac{a}{m_a{}\Bicr）^4+\Birg（\frac{b}{m_b}\ Bigr）$ 带有Sin、Cos、Tan、Cot等的不等式 $（2S^2\显示样式\sum_{cycle}（\sin A+\cos A+\tan A+\kot A）\gt 81\pi R^4\prod_{cycleneneneep \cos A）$ Leo Giugiuc的第二引理及其应用 $（3（a+b）\gt 2（m_a+m_b））$ 三角形中带反正切的不等式 $\left（\显示样式\frac{a^3\cos^3A}{\arctan\frac{1}{2}}+\frac}b^3\cos^3B}{\archan\frac}1}{5}}+\ frac{c^3\cos^3C}{\arctan\frac{1}}{8}}\ge\frac{32r^3s^3}{3\pi R^3}\right）$ 具有根和半径的三角形中的一个不等式 $（显示样式a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}\le3R\sqrt}2s}）$ Cevian人通过环心的不平等 $\左（\显示样式 \frac｛A_1O｝｛OA｝+\ frac｛B_1O｝｛OB｝+\ frac｛C_1O｝｛OC｝=\ frac｛x｝｛y+z｝+\ frac｛y｝｛z+x｝+\ frac｛z｝｛x+y｝\ ge \ frac｛3｝｛2｝\ right）$ 六次幂不等式 $（\显示样式a^6+b^6+c^6\ge 8r^2s\sum_{cycle}\frac{a^5}{b^2-bc+c^2}）$ 阿迪尔·阿卜杜拉耶夫的根与权不平等 $\left（\显示样式a^2+b^2+c^2\ge 4S\cdot\sqrt[4]{（a^2+2+c^2）\left$ 玛丽安·库科恩斯的根与幂不等式 $\left（\显示样式\小{a^2+b^2+c^2\ge 4S\cdot\sqrt{\frac{1}{2}（a^2+5^2+c ^2）\左（\ frac{1}{a^2}+\frac{1}}{b^2}+\frac}{1}{c^2}\right）-\ frac}3}{2{}}}\rift）$ 玛丽安·丁卡不等式 $\left（\显示样式m_a\le\frac{s}{\sqrt{3}}\right）$ 通过Brocard角通过Spieker点的Cevian不等式 $（a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2≥2s（AC‘\cdot BA’\cdot CB’+AB‘\cdot-BC’\cdot-CA’）$ 洪阮越与激进派和切比雪夫的不平等 $\left（\显示样式\sum_{cycle}（a-\sqrt{bc}）\sin\frac{a}{2}\ge0\right）$ 三角形中的一个不等式，主要是中值 $（显示样式\prod_{cycle}（5m_a+3m_b）（3m_a+5m_b$ 具有高度、中间值和对称值的三角形中的一个不等式 $\左（\显示样式\压裂{A_2A_3}{A_1A_2}\cdot\压裂{B_2B_3}{B_1B2}\cdot \压裂{C_2C_3}{C_1C_2}\gt\生产{循环}\frac{（A+B-C）^2}{2A^2+2B^2-C^2}\right）$ 具有高度和中间值的不等式 $（\sqrt｛3｝\max（h_a，h_b，h_c）\ge s\ge \sqrt｛3｝\min（m_a，m_b，m_c））$ 具有高度和角平分线的不等式 $（\max（h_a，h_b，h_c）\ge\min（\ell_a，\ell_b，\ell_c））$ Leo Giugiuc关于中介的不等式 $（m_a+m_b+m_c\le\sqrt{3s^2+\frac{3}{4}[（a-b）^2+（b-c）^2+（c-a）^2]}）$ 具有中间点、边和外半径的三角形中的一个不等式 $（显示样式m_a\ge\frac{b^2+c^2}{4R}）$ 半角正弦三角形中的一个不等式 $\显示样式\左（\sin\frac{A}{2}+\sin\frac{B}{2{+\sin\frac{C}{2neneneep \le2\sum_{cycle}\frac{A}{（\sqrt[3]{B}+\sqrt[3]{C}）（\sqrt[3]{B^2}+\sqrt[3]）}\右）$ 具有半角正弦和立方根的三角形不等式 $\显示样式\左（2\sum_{cycle}\左（\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\右）\sin^2\frac{C}{2}\geq\sqrt[3]{abc}\左$ 具有外半径、内半径和角平分线的三角形中的一个不等式 $（R+R\ge\min（\ell_a，\ell_b，\ell_c））$ 具有中间值差异的三角形中的一个不等式 $\显示样式\左（\ frac{8（m_a-mb）（m_b-mc）（m_c-ma）}{（b-a）（c-b）（a-c）}>\ frac}27abc}{$ Crux Mathematicorum的问题4087 $（m_a（b+c）+2m_a^2 \ge 4S\sin a）$ 具有内半径和外半径的不等式 $\ left（\显示样式（R_a+R_b+R_c）\ left$ 带积分的三角形不等式 $\left（\displaystyle4\sum_｛cycl｝\sin^2 \frac｛a｝｛2｝+\pi\sum_｛cycl｝\int_｛0｝^｛a｝\cos（\sin x）dx\ge\pi^2 \right）$ 带有正弦的三角形不等式 $\显示样式\左（\prod_{cycle}\左（\ frac{2}{\sinA}-1\右）\ge\左（\frac{6}{\sin A+\sinB+\sinC}-1\左）^3\右）$ 三角形中一个带边和的不等式 $\左（\显示样式\压裂{a（2s-a）}{4（s-a）{+\压裂{a（2s-b）}{4（s-b）}+\压裂$ 一个周长变化的不等式 $\左（\显示样式\frac{R_a^2}{R_b}+\ frac{R_b^2}}{R_c}+\压裂{R_c^2}{R_a}\geq3R\右）$ 具有最大边的Dorin Marchidanu不等式 $\left（\显示样式h_a\le\frac{p}{\sqrt{3}}\right）$ 一个具有圆周和到顶点距离的不等式 $\displaystyle\left（\frac{MB\cdot MC}{R_a}+\frac{MC\cdot MA}{R_b}+\frac{MA\cdot MB}{R_c}\le MA+MB+MC\right）$ 具有余弦和正弦的不等式 $\显示样式\左（\cos A+4\cos B+4\sin\frac{C}{2}\le 9\cos\frac{\pi+B-C}{3}\right）$ 一个三点不等式 $\displaystyle\left（\sum_{P\in\{O，I，G\}}\sum_{cycle}\left（\ frac{[\Delta APB]}{[\Delta ABC]}+\frac{[\Delta ABC]}{[\ Delta APB]}\right）^2\ge 100\right$ 一个具有一条切线和六个正弦的不等式 $\ left（\显示样式\ frac{\tan A}{\sin B+5\sin C}+\ frac}\tan B}{\sinC+5\sin A}+\ frac{\tanC}{\sinA+5\sin B}\gt\frac{1}{2}\right）$ 一个带切线和边的不等式 $\left（\displaystyle\frac｛a^2｝｛\tan B+\tan C｝+\frac｛B^2｝｛\tan C+\tan a｝+\frac｛C^2｝｛\tan a+\tan B｝\leq sR\right）$ 带有边、高度、角平分线和中位数的不等式 $\左（\显示样式\左（\frac{h_b}{m_a}+\frac{h_c}{m_b}+\frac{h_a}{m_c}\right）\左（\frac{b}{\ell_a}+\frac}{h_c{{\ell_b}+\frac}{h_a{{c}{\right右）^2\右）$ 由圆心和正交中心构成的三角形面积的一个不等式 $\left（\displaystyle\sum_{cycle}\sqrt[n]{[\Delta OAB]}\ge\sum_{cycle}\sqrt[n][\Delta-HAB]}\right）$ 一个带角三扇形的不等式 $\左（\显示样式\压裂{AE}{AB}+\压裂{AF}{AC}\lt 2\右）$ 边和面积的一个不等式 $\left（显示样式\sum_{cycle}\frac{（a^2-ab+b^2）^2}{a^2+4ab+b_2}\ge\frac}{2S}{\sqrt{3}}\right）$ 整数幂的三角形循环不等式 $\左（\显示样式\sum_{cycle}\frac{a^{n+1}}{b+c-a}\ge\sum_ {cycle}循环 ^n\right）$ R和R当G位于圆周上时 $（8R\ge 25r）$ Cevian不等式与外半径与内半径之比 $\左（\显示样式\ frac{XB}{XY}\cdot\frac{YC}{YZ}\cdot \ frac}{ZX}\le\frac}{2r}\right）$ 直角三角形中圆锥体上的质心 $\左（648Rr\ge 25（a^2+b^2+c^2）\右）$ 带有余切和外半径的不等式 $\left（\displaystyle\sum_ {cycle}循环 ^2\cot B\cot C\le 4R^2\right）$ 一个带内半径和超数的不等式 $\left（\显示样式\sum_{cycle}\frac{1}{II_a^2}+\sum_{cycle}\frac{1}{I_aI_b^2}\le\frac}{4r^2}\右）$ 一个具有内半径和边长的不等式 $\左（\显示样式\sum_{cycle}（b+c-a）^2\cdot\sum_{cycleneneneep（b+c-a）^3\ge 2592\sqrt {3} 第页 ^5\右）$ 带有Exradii和Altitude的不等式 $\ left（\显示样式\sqrt{\frac{1}{r_b^2}+\frac{1}}{r_c}+1}+\sqrt{\frac{1'{r_c^2}+\frac}1}{rb}+1}\ge2\sqrt}+\frac{1{h_a^2}+\frac{1\right）$ 介质、内半径和外半径的Leuenberger不等式 $\left（\显示样式m_a+m_b+m_c\le 4R+r\right）$ 阿迪尔·阿卜杜拉耶夫的角、中位数、内半径和外半径不等式 $\左（\显示样式\frac{A}{m_A}+\ frac{B}{m_B}+\ frac{C}{m_C}\le\frac}3\pi}{4R+r}\right）$ 带有边、余弦和半周长的不等式 $\左（\显示样式\总和_ {cycle}循环 ^2（b\cos b+cos c）\le\frac｛8s^3｝｛9｝\右）$ 塞兰·伊布拉希莫夫的不平等 $\左（\显示样式\sqrt {3} 秒 \cdot \总和_ {循环}ma \le20R^2+r^2\right）$ 三角形中的一个不等式Ⅲ $\left（\显示样式\sum_{cycle}\frac{（m_b+m_c-ma）^3}{m_a}\ge\frac{3}{4}（a^2+b^2+c^2）\right）$ Leo Giugiuc的三角不等式，仅带余切 $\左（\cot A+\cot B+\cot-C\ge 2\sqrt {2}-1 \右侧）$ 具有边长和外半径的三角形中的一个不等式 $\左（\显示样式\显示样式\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}+\ frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2}{+\ frac{ca}{\scrt{c^2+a^2}}\le\ frac}3\sqrt {6} R（右） }{2} \右）$ 三角形中的所有三角不等式 $\left（\显示样式3\sum_{cycle}\cos A\ge 2\sum_{cycle}\sin A\sin B\right）$ 两组Cevian不等式 $\left（\displaystyle\frac{27[A'B'C']}{[A''B''C'']}\leq\Bigr（\frac{BA'}{BA''}+\frac}CB'}{CB'}+\frac{AC'}{AC''}\Biger）^3\right）$ 与最重要的Cevian人的不平等 $\left（\displaystyle\frac｛m_am_bm_c｝｛h_ah_bh_c｝\ge\frac｛\ell_a^2+\ell_b^2+\ell_c^2｝｛\ell_a\ell_b+\ell_c+\ell_c\a｝\right）$ 带约束三角形中的一个不等式 $（a\sqrt{2}\ge b+c）$ 美国数学月刊上的问题11984 $\left（\显示样式a^6+b^6+c^6\ge 5184\cdot r^6\right）$ 一个四次长循环不等式 $\左（\显示样式4\cdot\sum_ {循环}ab \cdot \总和_ {cycle}循环- \左（\sum_ ｛循环｝a \右）^3\ge\frac{\displaystyle 3\sum_ {循环}ab \左[4\sum_ {循环}ab- \左（\sum_ {cycle}循环 \right）^2\right]｝｛\displaystyle\sum_ {cycle}循环 }\右侧）$ 一个带内半径的三次不等式 $\左（\显示样式\sum_{cycle}（a+b-c）^3+24abc\ge 648\sqrt {3} 第页 ^3\右）$ 1964年第六届国际海事组织的循环不平等 $\左（\显示样式\总和_ {cycle}循环 ^2（b+c-a）\le 3abc\right）$ 直角三角形中的一个面积不等式 $\left（\显示样式\frac{[\Delta ABD]+[\Delta-ACE]}{[\Delta-ADE]}\ge\sqrt{2}\right）$ 具有垂直中线的三角形中的一个角度不等式 $\left（\显示样式\cos A\ge\frac{4}{5}\right）$ 1996年APMO的三角形不等式 $\左（\sqrt{a+b-c}+\sqrt}b+c-a}+\scrt{c+a-b}\le\sqrt[a}+\sqrt{b}+\sgrt{c}\right）$ 非钝角三角形中的一个不等式 $\左（R\sqrt{2}\le h_a\右）$ 具有根、半周长和内半径的三角形中的一个不等式 $\left（\displaystyle\sqrt｛\frac｛a+b｝｛s-b｝｝+\sqrt｛\frac｛b+c｝｛s-c｝｝+\sqrt｛c+a｝｛s-a｝｝\le\frac｛\sqrt｛a^2+b^2+c^2｝｝｛r｝\right）$ 丹·西塔鲁的根式和余弦不等式 $\left（\显示样式（a^2+b^2+c^2）^3\ge 6^3（abc）^2\cos a\cos b\cos c\right）$ 三元Lorian Saceanu循环不等式 $\ left（显示样式2+\sum_{cycle}\frac{a}{b}\ge\sum_}cycle}\frac{a}}{c}+2\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\right）$ 一个与圆环相切的不等式 $\left（显示样式DE\le\frac{1}{8}（AB+BC+CA）\right）$ Lorian Saceanu的边角不等式 $\left（\displaystyle\frac{\pi}{3}\le\frac{a\alpha+b\beta+c\gamma}{a+b+c}\le\ arccos\ left（\frac{r}{r}\ right）\right）$ 具有根、半周长、Incenter和Inradius的三角形中的一个不等式 $\left（\displaystyle\frac{AI+BI+CI}{r}+3\ge\ left（\sum_{cycle}\sqrt{s-a}\right）\ left$ 三角形中边长的一个不等式，用两种方法循环 $\左（\显示样式3\左（\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c} {a} -1个 \右）\ge 2\左（\frac{b}{a}+\frac{a}{c}+\frac{c}{b}\right）\right$ 所有三角形的Lorian Saceanu不等式 $\左（\显示样式\sin 2A+\sin 2B+\sin 2 C\ge 4\sin 2A\cdot\sin 2 B\cdot\sin 2C\right）$