三角形中的内圆和外圆
$\Delta ABC$的内圆与边$a、$$b、$$c、$和半周长$p=（a+b+c）/2，$的切点定义了在热尔岗点三角形的。这紧接着从塞瓦定理事实上，从圆外的一点到一个圆的两条切线是相等的。
从三角形顶点到其内圆的切线长度可以很容易地确定。将它们表示为图中的$x、$$y、$$z、$。我们有三个方程式：
| (1) | $\开始{align}x+y&=c\\y+z&=a\\z+x&=b，\结束{对齐}$ |
从哪里
从（2）式（1）中一次减去一个，我们得到
| (3) | $\开始｛align｝x=p-a\\y=p-b\\z&=p-c。\结束{对齐}$ |
这些是中显示的长度Heron公式例如，$p-a=（b+c-a）/2$
类似地，我们可以找到外圆切线的长度。
显然，$2p=（b+u）+（c+v）.$但是，由于$（b+u）=（c+v），我们得到$
| (4) | $\开始{align}u&=p-b\\v&=p-c。\结束{对齐}$ |
从刚导出的公式可以看出，内圆和外圆与三角形边的切点相对于边的中点是对称的。这些点称为同位素的将两个点连接到相反顶点的天狼星也被称为同位素的这两个三元组在一个点上相遇。对于内圆，点是格尔贡内'; 对于外圆相切点，该点为纳格尔氏。我们刚刚证明，在任何三角形中，Gergonne点和Nagel点等角共轭彼此之间。（这个事实很有趣几何图解.)
通常，三角形中的两点是等角共轭如果经过它们的北欧人是成对同位素。这个质心是一个点，它是自己的同位素共轭物。
cot（A/2）=（p-A）/r
这个明显公式有时以…的名义余切定律:
$\displaystyle\frac｛\cot（A/2）｝｛p-A｝=\frac｛\cot（B/2）｝｛p-B｝=\frac｛\cot（C/2）｝｛p-C｝=\frac｛1｝｛r｝$
S=r一（p-a）
的确，
$\开始{align}2S&=（b+u）r{a}+（c+v）r{a}-ar{a{（u+v）r{a}\\&=（b+c-a）r{a}\\&=（2p-2a）r{a}\\&=2（p-a）r{a}。\结束｛align｝$
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