关于直线和三角形

给定ΔABC，将边AB延伸到顶点以外。现在，围绕顶点A旋转直线AB，直到它落在AC侧。接下来，围绕C旋转它（从它的新位置），直到它落到BC侧。最后，围绕B旋转它，直到它回到原来的位置。

事实上，很明显，尽管这条线现在与以前的位置完全相同，但有些东西已经改变了。经过三次旋转，这条线转了180度^o个例如，点A现在与B位于不同的一侧。我们说，围绕三角形旋转直线会改变其方向。

这条线似乎占据了相同的位置，但并不完全相同：线上的点没有保留它们的位置。然而，由于直线只有两个可能的方向，我们提出了一个有趣的问题：当直线绕三角形旋转两次后会发生什么？它会准确地（点对点）占据其原始位置吗？

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从以下观察中很容易得出答案。第一次旋转后，该线占据相同位置，但方向不同。让我们把这条线变成坐标轴。换句话说，让我们选择原点O、测量单位和正方向。如果在旋转后，点O映射到距离其原始位置单位远的点b（正或负），则原来距离O距离x的点现在将位于该位置b-x。因此，直线上存在一个点，即使经过一次旋转也不会移动。这是固定点转变的关键。不动点解方程x=b-x。直线绕三角形的旋转仅等于直线绕该点旋转180°。

由于第二次旋转与第一次完全相同，在两次这样的旋转之后，直线将占据完全相同的位置，点对点。这在代数上也可以看到。具有坐标x的点首先移动到具有坐标（b-x）的点，然后移动到b-（b-x）=x。

固定点呢？在小程序中，除了三角形的顶点之外，我还指示了边AB的中点。有时，但一般情况下，中点是固定的。那么，一般如何描述不动点呢？在他的书中（见以下参考），大卫·盖尔做出以下评论：这真的是快速动作。嗯，我必须承认，我花了一段时间才弄明白这一点。（我只是计算了固定点的位置。）然而，事实上，我现在明白了他的意思，忍不住笑了。这真的是如果你从直角.

参考

D.加尔，追踪自动蚂蚁1998年，施普林格·弗拉格

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提示

在ΔABC中画一个圆。三角形的边与内切圆接触的地方有三个切点。这有助于将配置（三角形+内部圆）视为一个带有外切三角形的圆。然后，该图显示了一个具有三个点的圆，从每个点绘制到该圆的双切线。围绕顶点旋转会随后将一对切线中的一条映射到其孪生切线中。因此，相切点相互映射，以便在围绕所有三个顶点旋转后，所有三个点都返回到其原始位置。看内接圆的好方法！

直到用代数方法确定了不动点之后，我才看到这个解。沿着直线绕三个顶点旋转（最简单的方法是沿着点C旋转，因为它只旋转一次！），测量一些距离并最终求解线性方程，得到了一个表达式，这让我想起了以下内容。

让三角形的边是a、b和c。让x、y和z表示三角形顶点到内接圆的切线长度。那么我们显然有这样的东西

x+y=a（x+y=a）
y+z=b
z+x=c

将三个方程式相加得出

x+y+z=（a+b+c）/2

从后一个x+y=a中减去，得到z=（b+c-a）/2。同样，x=（a-b+c）/2和y=（a+b-c）/2。这些表达式与试图定位线变换的不动点时获得的表达式是相同的（相当简单）。

值得注意的是，H.Eves在1943年以不同的形式发布了这个问题数学速成。确实如此相关的建造等宽形状和康威圆圈.

参考

C.W.触发器，数学速成多佛，1985，#181(美国数学月刊,50（1943年6月），391）

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