欧拉线和9点圆
这是海拔和欧拉线页面的末尾，我们确定了欧拉线的存在。在任何三角形中，三个显著的点-外心、质心和正交中心-是共线的也就是说，在同一条线上，欧拉线。质心总是位于外心和正心之间，其距离前者的距离是后者的两倍。
事后来看，我们可以看到欧拉线的存在是如何用纯粹的几何方法来表示的。考虑ΔABC及其内侧三角形M（M）一M（M）b条M（M）c（c）.这两个三角形相似；ΔM一M（M）b条M（M）c（c）是ΔABC的两倍。此外，它们对应的边是平行的，另外，这两个三角形有一个公共质心.
ΔM一M（M）b条M（M）c（c）可以通过围绕其质心M旋转ΔABC 180°，然后将其向M收缩至其尺寸的一半来获得。由于这种转换，段MH也将围绕M旋转180°，并且使正中心H与ΔM的正中心重合一M（M）b条M（M）c（c），其中，显而易见，依次与ΔABC的圆心（三个垂直平分线的公共点）重合。
几何推导至少和复数的应用一样简单。然而，复数让我们对几何构型有了更广阔的认识。例如，调用公式Δx中高度的英尺1x个2x个三:
H（H）x个1=（H-x2x个三/x个1)/2
H（H）x个2=（H-x1x个三/x个2)/2
H（H）x个三=（H-x1x个2/x个三)/2,
其中H=x1+x个2+x个三，三角形的正交中心。我们在假设所有三个顶点x1，x个2，x个三位于单位圆上。让我们重新安排上述身份：
小时/2小时x个1=x2x个三/2倍1
高/2-高x个2=x1x个三/2倍2
高/2-高x个三=x1x个2/2倍三.
由于所有三个点都位于单位圆上，因此我们
|高/2-高x个1|=|H/2-Hx个2|=|H/2-Hx个三| = 1/2,
它表示三个高度的英尺Δx1x个2x个三与点H/2等距。换句话说，ΔH的圆心x个1H（H）x个2H（H）x个三位于H/2——欧拉线的中点。ΔH的外半径x个1H（H）x个2H（H）x个三是Δx的一半1x个2x个三.
中心H/2和半径1/2处的圆称为9点圆，其中心自然是9点中心为什么9分？因为，除了三个高度的脚之外，它还通过ΔABC的中点和连接直角中心和三角形顶点的线段的中点。
x边的中点1x个2由M给出x个三=（x1+x个2)/2. 因此，|H/2-Mx个三|=|x三/2| = 1/2. 类似地，x的中点1H由（x）定义1+H）/2，因此从该点到H/2的距离再次等于|-x1/2| = 1/2. 当然，其他中点和顶点也是如此。非常简单。
（一个更基本的8点圆与具有正交对角线的四边形相关。在一个奇怪的扭曲，在任何三角形中都可以找到三个这样的四边形，它们共享同一个8点圆，但位于其上的点的总数仅为9。）
但我们还没有完成。选择4个点x1，x个2，x个三、和x4在单位圆上。这四个点定义了四个三角形：x1x个2x个三，x个2x个三x个4，x个1x个2x个4，x个1x个三x个4对于四个三角形中的每个三角形，找到其9点圆的中心。我们分别得到点（x1+x个2+x个三)/2，（x2+x个三+x个4)/2，（x1+x个2+x个4)/2和（x1+x个三+x个4)/2. 每个点与点（x）的距离为1/21+x个2+x个三+x个4)/2. 后者是四个点的9点圆的中心。
点（x1+x个2+x个三+x个4)/2明显与重心的外心对称（x）1+x个2+x个三+x个4)/4因此，被称为反中心循环四边形x的1x个2x个三x个4.
对于5点x1，x个2，x个三，x个4、和x5在单位圆上，有5组4个点。其9点圆的5个中心位于半径为1/2的圆上，中心位于（x1+x个2+x个三+x个4+x个5)/这样，我们就得到了位于后续圆上的无限个圆及其中心序列。该序列由J.L.Coolidge（1873-1954）发现。
备注1
正心x1+x个2+x个三三角形x的1x个2x个三和顶点x4在反中心对称（x）1+x个2+x个三+x个4)/2,类似地，其他三个三角形x1x个三x个4，x个1x个2x个4、和x2x个三x个4因此，由四个三角形的正交中心形成的四边形是x的反射1x个2x个三x个4在反中心。（请参见循环四边形中一条引人注目的直线.)
备注2（哈密尔顿定理）
很明显，如果ΔABC内切在半径为R的圆上，则其9点圆的半径为R/2。1861年，W.R.Hamilton（1805-1865）注意到四个三角形ABC、ABH、BCH和CAH共享同一个9点圆。从这里可以看出，四个三角形的外接圆虽然不同，但半径相同。
工具书类
- 梁申汉，复数与几何，MAA，1994年
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