蝴蝶三角

四边形蝴蝶是没什么不同从生活在圆圈里的蝴蝶.他们存在的证据很容易通过仿射变换简化（剪切）对于……的情况正交对角线四边形Sidney Kung（2012年8月13日）提供的另外两个（三角）证明毫无疑问地证明了正对角线（因此也在其他四边形中）存在蝴蝶。

通过凸四边形（RQSP）的相互垂直对角线（RS）和（PQ）的交点，画出两条线（AB）和（CD），它们在（a）、（B）、（C）、（D）处与（RQSP\）的边相交。如果（X=AD\cap PQ\）、（Y=CB\cap P Q\）和如果（OP=OQ\），则为（OX=OY\）。

第一个证据取决于引理在别处得到证实

设\（\三角形RST\），\（RU\）为塞维安语通过顶点\（R\）。引入角度\（alpha=\角度SRU\）和\（beta=\角度URT\）。然后

\(\压裂{\mbox{sin}（\alpha+\beta）}{RU}=\frac{\mbax{sin}（\alfa）}{RT}+\frac}\mbox}sin}。\)

将引理应用于三角形\（ROQ\）、\（SOQ\）和\（BOC）：

(1)	\（\frac{1}{OC}=\frac{mbox{sin}（\alpha）}{OR}+\frac{mbox{cos}（\ alpha，}{OQ}，\）
(2)	\（\frac{1}{OB}=\frac{mbox{sin}（\beta）}{OS}+\frac{mbox{cos}（\ beta）{OQ}，\）
(3)	\（\frac{\mbox{sin}（\alpha+\beta）}{OY}=\frac}\mbox}sin}

结合（1）-（3），我们得到

(4)	\(\压裂{mbox{sin}（\alpha+\beta）}{OY}=\mbox{sin}（\beta）\left（\frac{OQ\cdot\mbox{正弦}（\ alpha）+OR\cdot\nbox{cos}（\salpha，）}{OR\cdot OQ}\right）+\mbox{sin}（\alpha）\left（\frac{OQ\cdot\mbox{正弦}（\ beta）+OS\cdot\nbox{cos}（\t）}{OS\cdot OQ}\right）。\)

类似地，将引理应用于三角形（SOP）、（ROP）和（AOD），我们得到

(5)	\（\frac{1}{OD}=\frac{mbox{sin}（\alpha）}{OS}+\frac{mbox{cos}（\ alpha，}{OP}，\）
(6)	\（\frac{1}{OA}=\frac{mbox{sin}（\beta）}{OR}+\frac{mbox{cos}（\ beta）{OP}，\）
(7)	\（\frac{\mbox{sin}（\alpha+\beta）}{OX}=\frac}\mbox}sin}

结合（5）-（7）我们得到

(8)	\(\压裂{mbox{sin}（\alpha+\beta）}{OX}=\mbox{sin}（\beta）\left（\frac{OP\cdot\mbox{正弦}（\salpha）+OS\cdot\nbox{cos}（\ alpha）}{OS\cdot OP}\right）+\mbox{sin}（\alpha）\left（\frac{OP\cdot\mbox{正弦}（\ beta）+OR\cdot\nbox{cos}（\t）}{OP\cdot OR}\right）。\)

记住，（OP=OQ），（4）和（8）的比较表明，右手边是相等的，左手边也是相等的，这意味着（OX=OY）。

设（E）和（F）是相对于直线（RS）对称于（C）和（B）的点。放大图的左侧部分

让\（AF\cap OP=Z\）\（F\）是\（B\）的反射，线\（OP\）平分\（\角度AOF\）。因此

(9)	\(\压裂{AF}{ZF}=\压裂{AO}{OF}。\)

注意三角形\（OFD\）和\（OPD\）是共面的（意味着它们与\（O\）的高度相同）；它跟随那个

(10)	\(\frac{DF}{DP}=\frac{1/2\倍OD\倍OF\倍OMOx{sin}（\theta）}{1/2倍OD\次OP\倍MOx{正弦}（\alpha）}=\frac{OF\倍mbox{sin{（\ttheta）}}{OP\times\mbox{sin}（\alfa）}。\)

类似地，由于三角形\（OEP\）和\（OEA\）共享边\（OE\），

(11)	\(\frac{PE}{EA}=\frac{OP\times\mbox{sin}（\alpha）}{OA\times\nmbox{正弦}（\theta）}。\)

乘法（9）、（10）和（11）得出

\(\压裂{AZ}{ZF}\压裂{DF}{DP}\压裂{PE}{EA}=\压裂{AO}{OF}\压裂}{OP}\压裂}{OA}=1。\)

因此，反过来切瓦定理、\（AD\）、\（OP\）和\（EF\）是并发的。由于\（X\）和\（Y\）处于启用状态\（PQ\），并且\（X\in EF\），\（Y_）必须是\（X_）的对称图像。因此，\（OX=OY\）。

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