角三扇形是如何划分面积的？

问题

三分角如何划分面积问题

解决方案1

设$\displaystyle m=\tan\frac{A}{3}.\，$然后$0\ltm\lt\sqrt{3}.，$选择$A=（0,0），\，$$B=（B，-mb），\，$$E=（c，mc），\，$where$B，c，\gt 0，\，$，使$\displaystyle D=\left（\frac｛2bc｝｛B+c｝，0\right）。\，$我们还得到$BC\，$由$mx（b+c）+y（b-c）=2mbc\，$和$AC\定义，$由$2mx=（1-m^2）y\，$在$c=displaystyle\left（\frac{2（1-m~2）BC}{（3-m^2从这里开始，

$\显示样式\开始{对齐}2[\Delta ABC]&=\left|\begin{array}{ccc}0&0&1 \\b&-mb&1 \\displaystyle\frac{2（1-m^2）bc}{（3-m^2|\\&=\压裂{2mb^2c（3-m^2）}{（3-m~2）b-（1+m^2\结束｛align｝$

和

$\displaystyle\开始{对齐}2[\Delta ADE]&=\left|\begin{array}{ccc}0&0&1\\displaystyle\frac{2bc}{b+c}&0&1\\c&mc&1\end{arrays}\right|\\&=\压裂{2mbc^2}{b+c}。\结束｛align｝$

因此，我们需要证明

$\displaystyle\frac{mb^2c（3-m^2）}{（3-m~2）b-（1+m^2”c}\ge\frac{3mbc^2}{b+c}$

或者，同等地，

$\displaystyle\frac{b（3-m^2）}{（3-m*2）b-（1+m2）c}\ge\frac{3c}{b+c}$

如果我们表示$\displaystyle\frac{b}{c}=\alpha\，$和$\dislaystyle\\frac{1+m^2}{3-m^2{=u，\，$那么$\disposystyle_alpha\gtu\frac}{3}\，$最新的不等式变成$\dispatystyle_cfrac{\alpha}{alpha-u}\ge\frac{3}，$等价于$\alpha^2-2\alpha+3\ge0，\，自判别$4（1-3u）以来，明显为真\lt 0$

解决方案2

在$\Delta ABD，\，$$\displaystyle AD=\frac{AB\cdot\sin B}{\displastyle\sin\left（B+\frac{A}{3}\right）}.\，$中使用正弦定律从$\Delta ACE，\，$$\显示样式AE=\frac{AC\cdot\sin C}{\displaystyle\sin\left（C+\frac{A}{3}\right）}.\，$因此

$\显示样式\开始{align}[\Delta ADE]&=\压裂{1}{2} AD公司\cdot不良事件\\&=\frac{1}{2}\cdot\frac{AB\cdot\sin B}{\displaystyle\sin\left（B+\frac{A}{3}\right）}\cdot \frac{AC\cdot\sin C}{\displaystyle\\sin\left（C+\frac{A}{3}\ right）\结束｛align｝$

和$\显示样式[\Delta ABC]=\frac{1}{2} AB公司\cdot AC\cdot\sin A.，$所需的不等式等价于

$\显示样式\开始{align}&\sin A\cdot\sin\left（B+\frac{A}{3}\right）\cdot\sin\left\\&\frac｛1｝｛2｝\sin A\cdot\left（\cos（B-C）-\cos\left（B+C+\frac｛2A｝｛3｝\ right）\ right）\\&\qquad\qquad_qquad\\ge\frac{3}{2}\sin\frac{A}{3}[\cos（B-C）-\cos（B+C）]\，\Leftrightarrow\\&\sin A\cdot\左（\cos（B-C）+\cos\frac{A}{3}\右）\\&\qquad\qquad_qquad\\ge3\sin\frac{A}{3}[\cos（B-C）+\cos A]\，\Leftrightarrow\\&\左（3\sin\frac{A}{3}-4\sin^3\frac{A}{3}\right）\left（\cos（B-C）+\cos\frac{A}{3{right）\\&\qquad\qquad_qquad\\ge3\sin\frac{A}{3}（\cos（B-C）+\cos A）\，\Leftrightarrow\\&\左（3-4\sin^2\frac{A}{3}\右）\左（\cos（B-C）+\cos\frac{A}{3{\右）\\&\qqid\qquad\qqie\ge3\cos（B-C）+3\cos A\，\左箭头\\&\左（3-4\左（1-\cos^2\frac{A}{3}\右）\right）\left（\cos（B-C）+\cos\frac{A}{3{\右）\\&\qquad\qquad_qquad\\ge3\cos（B-C）+3\左（4\cos^3\frac{A}{3}-3\cos\frac{A}{3}\right）\，\左右箭头\\&\左（4\cos^2\frac{A}{3}-1\右）\左（\cos（B-C）+\cos\frac{A}{3}\右）\\&\qquad\qquad_qquad\\ge3\cos（B-C）+12\cos^3\frac{A}{3}-9\cos\frac{A}{3}\，\左箭头\\&4\ cos ^2 \ frac｛A｝｛3｝\ cos（B-C）-\cos（B-C）+4\ cos ^3 \ frac｛A｝{3}-\成本\压裂{A}{3}\\&\qquad\qquad_qquad\\ge3\cos（B-C）+12\cos^3\frac{A}{3}-9\cos\frac{A}{3}\，\左箭头\\&8\cos^3\压裂{A}{3}-4\cos^2\frac{A}{3}\cdot\cos（B-C\\&4\左（\cos^2\frac{A}{3}-1\右）\左（2\cdot\cos\frac{A}{3}-\cos（B-C）\右）\le 0\，\左向右箭头\\&4\sin^2\frac{A}{3}\左（2\cdot\cos\frac{A}{3}-\cos（B-C）\右）\ge 0\，\左向右箭头\\&2\cdot\cos\frac{A}{3}-\cos（B-C）\ge 0\；\；(1).&\结束{对齐}$

现在，由于$0\ltA\lt\pi，$$\displaystyle 0\lt\frac{A}{3}\lt\frac{pi}{3{，\，$，并且由于函数$cos\，$严格地减少了$[0，\pi]，\，$.我们有$\disposystyle\cos\frac{A}{3｝\gt\cos\frac{3}=\frac{1}{2}，\。，

(2)

$\显示样式2\cos\frac{A}{3}-1\gt 0$

显然，还有$1-\cos（B-C）\ge 0\，\，（3）.\，$结合（2）和（3）可以得出

$\displaystyle2\cos\frac｛A｝{3}-\cos（B-C）\gt 0$

从而证明了（1）。注意不等式是严格的：$\displaystyle[\Delta ADE]\lt\frac{1}{3}[\Delta-ABC].\，$然而，它无法改进，因为在极限值内，当从$A\，$到$BC\，$的距离增加时，两个区域的比率趋于$displaystyle\frac{1}{3}$

解决方案3

设$\displaystyle x=2[\Delta ABD]=AB\cdot AD\cdot\sin\frac{A}{3}，\，$$\dislaystyle y=2[\Delta ADE]=AD\cdot AE\cdot\sin\frac}{3{，\我们有

$x+y+z=2[\Delta ABC]=AB\cdot AC\cdot\sin A$

和

$\显示样式xz=\ left（AB\cdot AC\cdot\sin\frac{A}{3}\ right）\ left$

注意$\displaystyle\sinA\le3\sin\frac{A}{3}.\，$实际上，考虑函数$\displaystylef（A）=\sinA-3\sin\frac{A}{3}$\显示样式f'（A）=\cos A-\cos\frac{A}{3}\lt 0，\，$cos\，$对于$0\lt A\lt\pi.\，$严格减少由此得出$f（A）\le f（0）=0。\，$若要继续，

$\显示样式xz=\frac{\显示样式\sin\frac{A}{3}}{\sinA}\ge\frac{y（x+y+z）}{3{$

或者，等价地，$\显示样式xyz\gey^2\left（\frac{x+y+z}{3}\right），\，$表示

$\显示样式\左（\frac{x+y+z}{3}\右）^3\ge xyz\ge y^2\左（\frac{x+y+z{3}\right）$

其中$\displaystyle\frac{x+y+z}{3}\gey，\，$是必需的不等式。

解决方案4

设$\theta=\displaystyle\frac{A}{3}，\，$$x=AD\，$$y=AE.\，$From$[\Delta ABC]=[\Delta-ABD]+[\Del塔ADC]$

$\显示样式x=\frac{bc\sin3\theta}{b\sin2\theta+c\sin\thetaneneneep$

从$[\Delta ABC]=[\Delta ABE]+[\Delta AEC]$

$\displaystyle y=\frac{bc\sin3\theta}{b\sin\theta+c\sin2\theta}$

来自角平分线的性质，$BD:DE=c:y\，$和$DE:EC=x:b，\，$组合其中$BD:DE:EC=cx:xy:by，\，$implying

$\displaystyle\begin{align}\frac{[\Delta ADE]}{[\Delta ABC]}&=\frac{xy}{cx+xy+by}\\&=\frac{1}{\displaystyle\frac{b}{x}+\frac{c}{y}+1}。\结束｛align｝$

现在，

$\显示样式\开始{align}\压裂{b}{x}+\frac{c}{y}+1&=\左（\frac}c}+\frac{b}}{c}\right）\cdot\frac{\sin2\theta}{\sin3\theta}+2\frac{sin\theta{{sin3\theta}+1\\&\gt2\cdot\frac{2}{3}+2\cdot\frac{1}{3{1=3。\结束｛align｝$

不等式是严格的；当$\theta\rightarrow 0^{+}时趋于相等$

解决方案5

三分角如何划分面积？，证明5

对于区域，$\displaystyle\frac{[Delta AED]}{[\Delta ACB]}\le\frac{1}{3}\，$与$\dislaystyle\\frac}[\Delta-ACB]}{\\Delta AED}\ge 3$相同，后者相当于

$\显示样式\开始{align}&\压裂{[\Delta ADB]}{[\Delta AED]}+1+\frac{[\德尔塔ACE]}{\\Delta AED]}\ge 3\，\Longleftrightarrow\\&\压裂{[\Delta ADB]}{[\德尔塔AED]}+\frac{[\Delta ACE]}{\\Delta AED]{\ge 2\，\Longleftrightarrow\\&\压裂{AB}{AE}+\压裂{AC}{AD}\ge2\，\Longleftrightarrow\，\frac{CG}{EC}+\frac{KG}{CG}\ge2。\结束｛align｝$

$\显示样式\开始{align}\压裂{CG}{EC}+\frac{lambda\cdot EC}{CG}&=\frac{GC}{EC{+\frac{[1+（\lambda-1）]EC}{c}\\&=\frac{GC}{EC}+\frac{EC}{CG}+\frac{（\lambda-1）EC}{c}\ge\frac{GC}{EC}+\frasc{EC}{CG}\ge2。\结束｛align｝$

确认

解决方案1由Leo Giugiuc提出；解决方案2由玛丽安·库科安什提出；解决方案3由Marian Dincă；解决方案4由Kunihiko Chikaya提供；解决方案5由Hlias Aggelakos提供。

三角形中的不等式
帕多亚不平等$（abc（a+b-c）（b+c-a）（c+a-b））$
- Padoa不等式的改进$\左（\显示样式\prod_{cyclic}（a+b-c）\le2\min_{cyclic}\{a\cdot\frac{b^2c^2}{b^2+c^2}\}\le2 \max_{cycle}\{a \cdot\ frac{b ^2c|2}{b ^2+c ^2}\}\le abc\right）$
Erdos-Mordell不等式$（OA+OB+OC\ge 2（OP+OQ+OR）)$
从三角形不等式到三角形不等式$（最大值A、B、C、D、E、F）$
三角形中的面积不等式$（[\Delta NAP]\le\frac{1}{4}[\Delta-ABC]）$
三三角形中的面积不等式$\显示样式2（\sqrt{S_1}+\sqrt{S2}+\scrt{S_3}）^2\lt\sum_{循环}a1^2+\总和_｛循环｝a_2^2+\总和_{循环}a3^2.$
三角形中的面积不等式II$（[PBF]\le\frac{1}{6}）$
三角形中的一个不等式$（a^3b+b^3c+c^3a-a^2b^2-b^2c^2-c^2a^2\ge 0）$
三角形中的一个不等式，II$（m_al_a+m_bl_b+m_cl_c\ge p^2）$
三角形III中的一个不等式$\显示样式\左（\frac{a（b+c）}{bc\cdot\cos^2\frac{a}{2}}+\frac{b（c+a）}{ca\cdot\ cos^2\frac{b}{2{}+\frac{c（a+b）}{ab\cdot\scos^2 \frac}{c}{2neneneep}\ge 8\right）$
三角形IV中的一个不等式$\左（\开始{align}\sqrt{2}&\左[\sqrt{p（p-a）}+\sqrt}p（p-b）}+\sqrt{p（p-c）}\right]\\&\le\sqrt{p^2-ma^2}+\sqrt（p^2-mb^2}+）$
三角形V中的一个不等式$（m_am_bm_c\ge r_ar_br_c）$
三角形中的一个不等式，VI$\displaystyle\left（\frac{h_a\cdoth_b}{ha+hb}\right）\lth_c\left（\frac{h_a\tdoth_b}{|ha-hb|}\rift）$
三角形中的一个不等式，VII$\displaystyle\left（\left（\sum_｛cycl｝\frac｛m_a^2｝｛m_b^2｝\right）\left（\sum_{循环}x^2\right）+2\ left（\sum_{cycle}\frac{ma}{mc}\right）\left（\sum_{循环}xy\右）\ge 0\right）$
三角形中的一个不等式，VIII$\显示样式\左（\sum_{cycle}\frac{5a^2-b^2-c^2}{\sqrt{m_bm_c}}\le4\sum_{循环}ma\右侧）$
三角形中的一个不等式，IX$\显示样式\左（27\prod_{循环}IA“\cdot HA”“\le\frac{1}{27}\prod_{cycle}\ell_ah_a\right）$
三角形X中的一个不等式$\displaystyle\left（\frac｛1｝｛r^2｝\sum_{cycle}循环^3\cos B\cos C\ge 16\left（\sum_{cycle}\sin A\right）\left$
三角形XI中的一个不等式$\左（3（a^2+b^2+c^2）\lt 4（am_c+bm_a+cm_b）\right）$
三角形不等式：边和角平分线$\left（\显示样式a+b+c\ge\frac{2\sqrt{3}}{3}（la+lb+lc）\right）$
韦岑伯克不等式$（a^2+b^2+c^2第4页）{3} S公司)$
- Ionescu-Weitzenbock不等式的两个改进$（a^2+b^2+c^2\ge2\sqrt{3}\max\{am_a，bm_b，cm_c\}）$
- Ionescu-Weitzenbock不等式的另一种改进$（\显示样式a^2+b^2+c^2-4\sqrt{3} S公司\ge2\sqrt{3}（m_a^2-h_a^2）$
- Ionescu-Weitzenbock不等式的早期改进$（显示样式a^2+b^2+c^2-（a-b）^2-（b-c）^2-（c-a）^2\ge 4\sqrt{3} S公司)$
- 桑切斯的魏岑博克$（[ABC]（1+\sqrt{3}]\le[ANBMCP]）$
涉及四个基本中心的三角形不等式$\left（\显示样式\sum_{cycle}（AH+2\cdot AI+3\cdot AO+4\cdot AG）\ge 60r\right）$
由Ceva定理导出的锐角三角形中的一个不等式$\displaystyle\left（AB'\cdot BC'\cdot-CA'+AB''\cdot-BC''\cdot-CA'''+AB''''\cdot-BC''''\cdot CA''''\le\frac{3}{8} 美国广播公司\右侧）$
Crux Mathematicorum的4020题$（[MNP]\le[DEF]）$
一个双三角形不等式$（a ^2（-a“^2+b”^2+c“^2）+b ^2（a“^2-b”^2+c“^ 2）+c ^2（a'^2+b'^2-c'^2）\ge 16KK'）$
一个双三角形不等式II$\left（\displaystyle\frac｛a+b+c｝｛3\sqrt{3} R（右）}\le\frac{\displaystyle\cos\frac{A}{2}+\cos\frac{B}{2{+\cos/frac{C}{2neneneep{\disposystyle\\cos\frac{A'}{2neneneei+\cos\frac}B'}{2}+\cos\frac}C'}{2}}\le\frac{3\sqrt{3} R（右）'}{a'+b'+c'}\右）$
圆圈上的点：另一种外观$\左（\显示样式5r\le\frac{PA^2}{h_a}+\ frac{PB^2}}{h_b}+\压裂{PC^2}{h_c}\le\frac{5}{2} R（右）\右侧）$
一个全归纳不等式$\ left（\显示样式\ frac{m_am_bm_c}{r_ar_br_c}+\ frac}\ell_a\ell_b\ell_c}{h_ah_bh_c}\leq\frac{r}{r}\right）$
一个全归纳不等式II$\left（\displaystyle\left（\sum_{cycle}\sqrt{\frac{ma}{\ell_a}}\right）\left$
与根、平方和面积的不等式$（\displaystyle\sqrt｛2｝（PA+PB+PC）\ge\sqrt｛a^2+b^2+c^2+4\sqrt{3} S公司})$
三角形中的一个单边不等式$\left（\显示样式BA‘\cdot CB’\cdot AC’+BA’‘\cdot-CB’’\cdot-AC’‘+BA’’\cdot-CB‘’\cdote-AC’’’\lt\frac{3abc}{8}\right）$
丹·西塔鲁的切线不等式$（\displaystyle\sum_{cycle}\sqrt[3]{\tan A}\sqrt[3]{\tan B}（\sqrt[3]{\tanA}+\sqrt[3]{\tanB}）\le2\tan A\tanB\tanC）$
丹·西塔鲁的切线不等式II$（\displaystyle\sum_｛cycl｝\tan A\tan B+45^｛\circ｝\le 2\tan ^2A\tan ^2B\tan ^2C）$
丹·西塔鲁的根与权不平等$（显示样式（\sqrt{a}+\sqrt{b}+\scrt{c}）^4（\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\scrt[3]）^6\ge2^43^9S^2）$
三角形中的一个循环不等式$\左（\显示样式\sum_{cycle}\frac{a^3（2s-a）}{b（2s-b）}\ge\ frac{27a^2b^2c^2}{s^2}\右）$
三角形II中的一个循环不等式$\ left（\显示样式\ sqrt{abc}\ left）^2 \ ge 16（\ sqrt{a}+\ sqart{b}+\ frac{b^2}{\ sqrt{c}}+\ frac{c^2}{\ squart{a}}\ right）^2$
立方体和立方根不等式$（\displaystyle\sum_{cycle}（\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]）{b}-\广场[3]{c}）^3\ge\sqrt[3]{3a}+\sqrt[3]{3b}+\squart[3]{3c}-2)$
切线、余切和平方根不等式$（\displaystyle\left（\sum_{cycle}\sqrt{\cotA\cotB}\right）\left（\sum_{cycle}\sqrt{\tan A\cot B}\right）\ge 3\sqrt}）$
一个带正弦的不等式$\左（\显示样式\prod_{cycle}\左（\frac{2}{\sinA}-1\右）\ge\左（\frac{6}{\sin A+\sinB+\sinC}-1\左）^3\右）$
带正弦的三角形不等式II$\left（\displaystyle\left（\sum_{cycle}\frac{\sinA}{\sinB}\right）\left$$\left（\显示样式\sin^22A+\sin^22 B+\sin ^22 C\le\sin ^2A+\sin ^2B+\sins ^2C\right）$
一个带切线和余切的不等式$\left（\displaystyle\prod_｛cycl｝\left（\tan\frac｛A｝｛2｝\tan\frac｛B｝｛2｝+\cot\frac｛A｝｛2｝\cot\frac｛B｝｛2｝\right）\ ge\frac｛1000｝｛27｝\right）$
带有边和中间值的不等式$（2m_a\le bm_c+cm_b）$
边和中线三角形中的一个不等式II$\left（\displaystyle 16\sum\Bigr（\frac{m_a}{m_c}+\frac}{m_b}{m.c}\Biger）^4\gt 81\Biggl（\Biger（\frac{a}{m_a{}\Bicr）^4+\Birg（\frac{b}{m_b}\ Bigr）$
带有Sin、Cos、Tan、Cot等的不等式$（2S^2\显示样式\sum_{cycle}（\sin A+\cos A+\tan A+\kot A）\gt 81\pi R^4\prod_{cycleneneneep \cos A）$
Leo Giugiuc的第二引理及其应用$（3（a+b）\gt 2（m_a+m_b））$
三角形中带反正切的不等式$\left（\显示样式\frac{a^3\cos^3A}{\arctan\frac{1}{2}}+\frac}b^3\cos^3B}{\archan\frac}1}{5}}+\ frac{c^3\cos^3C}{\arctan\frac{1}}{8}}\ge\frac{32r^3s^3}{3\pi R^3}\right）$
具有根和外圆半径的三角形中的一个不等式$（显示样式a\sqrt{b}+b\sqrt{c}+c\sqrt{a}\le3R\sqrt}2s}）$
Cevian人通过环心的不平等$\左（\显示样式\压裂{A_1O}{OA}+\压裂{B_1O}}{OB}+\裂缝{C1O}{OC}=\裂缝{x}{y+z}+\裂隙{y}{z+x}+\分形{z}{x+y}\ge\frac{3}{2}\right）$
六次幂不等式$（\显示样式a^6+b^6+c^6\ge 8r^2s\sum_{cycle}\frac{a^5}{b^2-bc+c^2}）$
阿迪尔·阿卜杜拉耶夫的根与权不平等$\left（\displaystyle a^2+b^2+c^2 \ge 4S\cdot\sqrt[4]｛（a^2+b^2+c^2）\left（\frac｛1｝｛a^2｝+\frac｛1｝｛b^2｝+\frac｛1｝｛c^2｝\right）｝\right）$
玛丽安·库科恩斯的根与幂不等式$\left（\显示样式\小{a^2+b^2+c^2\ge 4S\cdot\sqrt{\frac{1}{2}（a^2+5^2+c ^2）\左（\ frac{1}{a^2}+\frac{1}}{b^2}+\frac}{1}{c^2}\right）-\ frac}3}{2{}}}\rift）$
玛丽安·丁卡不等式$\left（\显示样式m_a\le\frac{s}{\sqrt{3}}\right）$
通过Brocard角通过Spieker点的Cevian不等式$（a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2≥2s（AC‘\cdot BA’\cdot CB’+AB‘\cdot-BC’\cdot-CA’）$
洪恩越与根式和切比雪夫的不等式$\left（\显示样式\sum_{cycle}（a-\sqrt{bc}）\sin\frac{a}{2}\ge0\right）$
三角形中的一个不等式，主要是中值$（显示样式\prod_{cycle}（5m_a+3m_b）（3m_a+5m_b$
具有高度、中间值和对称值的三角形中的一个不等式$\左（\显示样式\压裂{A_2A_3}{A_1A_2}\cdot\压裂{B_2B_3}{B_1B2}\cdot \压裂{C_2C_3}{C_1C_2}\gt\生产{循环}\frac{（A+B-C）^2}{2A^2+2B^2-C^2}\right）$
具有高度和中间值的不等式$（\sqrt{3}\max（ha，hb，hc）\ges\ge\sqrt{3}\min（ma，mb，mc））$
具有高度和角平分线的不等式$（\max（h_a，h_b，h_c）\ge\min（\ell_a，\ell_b，\ell_c））$
Leo Giugiuc对中位数的不平等$（m_a+m_b+m_c\le\sqrt{3s^2+\frac{3}{4}[（a-b）^2+（b-c）^2+（c-a）^2]}）$
具有中间点、边和外半径的三角形中的一个不等式$（\displaystyle m_a\ge\frac｛b^2+c^2｝｛4R｝）$
半角正弦三角形中的一个不等式$\显示样式\左（\sin\frac{A}{2}+\sin\frac{B}{2{+\sin\frac{C}{2neneneep \le2\sum_{cycle}\frac{A}{（\sqrt[3]{B}+\sqrt[3]{C}）（\sqrt[3]{B^2}+\sqrt[3]）}\右）$
具有半角正弦和立方根的三角形不等式$\显示样式\左（2\sum_{cycle}\左（\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\右）\sin^2\frac{C}{2}\geq\sqrt[3]{abc}\左$
具有外半径、内半径和角平分线的三角形中的一个不等式$（R+R\ge\min（\ell_a，\ell_b，\ell_c））$
具有中间值差异的三角形中的一个不等式$\显示样式\左（\ frac{8（m_a-mb）（m_b-mc）（m_c-ma）}{（b-a）（c-b）（a-c）}>\ frac}27abc}{$
Crux Mathematicorum的问题4087$（m_a（b+c）+2m_a^2 \ge 4S\sin a）$
一个具有内半径和外半径的不等式$\ left（\显示样式（R_a+R_b+R_c）\ left$
带积分的三角形不等式$\left（显示样式4\sum_{cycle}\sin^2\frac{a}{2}+\pi\sum_{cycle}\int_{0}^{a}\cos（\sinx）dx\ge\pi^2\right）$
带有正弦的三角形不等式$\显示样式\左（\prod_{cycle}\左（\ frac{2}{\sinA}-1\右）\ge\左（\frac{6}{\sin A+\sinB+\sinC}-1\左）^3\右）$
三角形中一个带边和的不等式$\left（\displaystyle\frac｛a（2s-a）｝｛4（s-a）｝+\frac｛a（2s-b）｝｛4（s-b）｝+\frac｛a（2s-c）｝｛4（s-c）｝\ge a+b+c\right）$
一个周长变化的不等式$\左（\显示样式\frac{R_a^2}{R_b}+\ frac{R_b^2}}{R_c}+\压裂{R_c^2}{R_a}\geq3R\右）$
具有最大边的Dorin Marchidanu不等式$\left（\显示样式h_a\le\frac{p}{\sqrt{3}}\right）$
一个具有圆周和到顶点距离的不等式$\displaystyle\left（\frac{MB\cdot MC}{R_a}+\frac{MC\cdot MA}{R_b}+\frac{MA\cdot MB}{R_c}\le MA+MB+MC\right）$
带有余弦和正弦的不等式$\显示样式\左（\cos A+4\cos B+4\sin\frac{C}{2}\le 9\cos\frac{\pi+B-C}{3}\right）$
一个三点不等式$\displaystyle\left（\sum_{P\in\{O，I，G\}}\sum_{cycle}\left（\ frac{[\Delta APB]}{[\Delta ABC]}+\frac{[\Delta ABC]}{[\ Delta APB]}\right）^2\ge 100\right$
一个具有一条切线和六个正弦的不等式$\ left（\显示样式\ frac{\tan A}{\sin B+5\sin C}+\ frac}\tan B}{\sinC+5\sin A}+\ frac{\tanC}{\sinA+5\sin B}\gt\frac{1}{2}\right）$
一个带切线和边的不等式$\ left（\显示样式\ frac{a^2}{\tan B+\tan C}+\frac{B^2}}{\tanC+\tan a}+\frac{C^2}{\tan a+\tan B}\leq sR\right）$
带有边、高度、角平分线和中位数的不等式$\左（\显示样式\左（\frac{h_b}{m_a}+\frac{h_c}{m_b}+\frac{h_a}{m_c}\right）\左（\frac{b}{\ell_a}+\frac}{h_c{{\ell_b}+\frac}{h_a{{c}{\right右）^2\右）$
由圆心和正交中心构成的三角形面积的一个不等式$\left（\displaystyle\sum_{cycle}\sqrt[n]{[\Delta OAB]}\ge\sum_{cycle}\sqrt[n][\Delta-HAB]}\right）$
一个带角三扇形的不等式$\左（\显示样式\压裂{AE}{AB}+\压裂{AF}{AC}\lt 2\右）$
边和面积的一个不等式$\left（显示样式\sum_{cycle}\frac{（a^2-ab+b^2）^2}{a^2+4ab+b_2}\ge\frac}{2S}{\sqrt{3}}\right）$
整数幂的三角形循环不等式$\左（\显示样式\sum_{cycle}\frac{a^{n+1}}{b+c-a}\ge\sum_{cycle}循环^n\right）$
R和R当G位于圆周上时$（8R\ge 25r）$
Cevian不等式与外半径与内半径之比$\左（\显示样式\ frac{XB}{XY}\cdot\frac{YC}{YZ}\cdot \ frac}{ZX}\le\frac}{2r}\right）$
直角三角形中圆锥体上的质心$\左（648Rr\ge 25（a^2+b^2+c^2）\右）$
一个具有余切和外圆半径的不等式$\左（\显示样式\总和_{cycle}循环^2\cot B\cot C\le 4R^2\right）$
一个带内半径和超数的不等式$\left（\显示样式\sum_{cycle}\frac{1}{II_a^2}+\sum_{cycle}\frac{1}{I_aI_b^2}\le\frac}{4r^2}\右）$
一个具有内半径和边长的不等式$\左（\显示样式\sum_{cycle}（b+c-a）^2\cdot\sum_{cycleneneneep（b+c-a）^3\ge 2592\sqrt{3} 第页^5\右）$
带有Exradii和Altitude的不等式$\ left（\显示样式\sqrt{\frac{1}{r_b^2}+\frac{1}}{r_c}+1}+\sqrt{\frac{1'{r_c^2}+\frac}1}{rb}+1}\ge2\sqrt}+\frac{1{h_a^2}+\frac{1\right）$
中值、内半径和外半径的Leuenberger不等式$\left（\显示样式m_a+m_b+m_c\le 4R+r\right）$
阿迪尔·阿卜杜拉耶夫的角、中位数、内半径和外半径不等式$\左（\显示样式\frac{A}{m_A}+\ frac{B}{m_B}+\ frac{C}{m_C}\le\frac}3\pi}{4R+r}\right）$
带有边、余弦和半周长的不等式$\左（\显示样式\总和_{cycle}循环^2（b\cos b+c\cos c）\le\frac{8s^3}{9}\right）$
塞兰·伊布拉希莫夫的不平等$\左（\显示样式\sqrt{3} 秒\cdot \总和_{循环}ma\le20R^2+r^2\right）$
三角形中的一个不等式Ⅲ$\left（\显示样式\sum_{cycle}\frac{（m_b+m_c-ma）^3}{m_a}\ge\frac{3}{4}（a^2+b^2+c^2）\right）$
Leo Giugiuc的三角不等式，仅带余切$\左（\cot A+\cot B+\cot-C\ge 2\sqrt{2}-1\右侧）$
具有边长和外半径的三角形中的一个不等式$\左（\显示样式\显示样式\frac{ab}{\sqrt{a^2+b^2}}+\ frac{bc}{\sqrt{b^2+c^2}{+\ frac{ca}{\scrt{c^2+a^2}}\le\ frac}3\sqrt{6} 对}{2} \右）$
三角形中的所有三角不等式$\left（\显示样式3\sum_{cycle}\cos A\ge 2\sum_{cycle}\sin A\sin B\right）$
两组Cevian不等式$\left（\displaystyle\frac{27[A'B'C']}{[A''B''C'']}\leq\Bigr（\frac{BA'}{BA''}+\frac}CB'}{CB'}+\frac{AC'}{AC''}\Biger）^3\right）$
与最重要的Cevian人的不平等$\ left（\显示样式\ frac{m_am_bm_c}{h_ah_bh_c}\ge\frac{\ell_a^2+\ell_b^2+\ ell_c^2}{\ell_a\ell_b+\ell_c+\ell_c\ell_a}\right）$
带约束三角形中的一个不等式$（a\sqrt{2}\ge b+c）$
美国数学月刊上的问题11984$\left（\displaystyle a^6+b^6+c^6\ge 5184\cdot r^6\right）$
一个四次长循环不等式$\左（\显示样式4\cdot\sum_{循环}ab\cdot \总和_{cycle}循环-\左（\sum_{cycle}循环\右）^3\ge\frac｛\displaystyle3\sum_{循环}ab\左[4\sum_｛循环｝ab-\左（\sum_{cycle}循环\右）^2\right]}{\displaystyle\sum_{cycle}循环}\右）$
一个带内半径的三次不等式$\左（\显示样式\sum_{cycle}（a+b-c）^3+24abc\ge 648\sqrt{3} 第页^3\右）$
1964年第六届国际海事组织的循环不平等$\左（\显示样式\总和_{cycle}循环^2（b+c-a）\le 3abc\right）$
直角三角形中的一个面积不等式$\left（\显示样式\frac{[\Delta ABD]+[\Delta-ACE]}{[\Delta-ADE]}\ge\sqrt{2}\right）$
具有垂直介质的三角形中的一个角度不等式$\left（\显示样式\cos A\ge\frac{4}{5}\right）$
1996年APMO的三角形不等式$\左（\sqrt{a+b-c}+\sqrt}b+c-a}+\scrt{c+a-b}\le\sqrt[a}+\sqrt{b}+\sgrt{c}\right）$
非钝角三角形中的一个不等式$\左（R\sqrt{2}\le h_a\右）$
具有根、半周长和内半径的三角形中的一个不等式$\ left（\显示样式\ sqrt{\ frac{a+b}{s-b}}+\sqrt{\frac{b+c}{s-c}}+\ sqrt{\frac{c+a}{s-a}}\le\ frac}{\sqrt}a^2+b^2+c^2}}{r}\right）$
丹·西塔鲁的根式和余弦不等式$\left（\显示样式（a^2+b^2+c^2）^3\ge 6^3（abc）^2\cos a\cos b\cos c\right）$
三元Lorian Saceanu循环不等式$\ left（显示样式2+\sum_{cycle}\frac{a}{b}\ge\sum_}cycle}\frac{a}}{c}+2\frac{ab+bc+ca}{a^2+b^2+c^2}\right）$
一个与圆环相切的不等式$\left（显示样式DE\le\frac{1}{8}（AB+BC+CA）\right）$
Lorian Saceanu的边角不等式$\left（\displaystyle\frac{\pi}{3}\le\frac{a\alpha+b\beta+c\gamma}{a+b+c}\le\ arccos\ left（\frac{r}{r}\ right）\right）$
具有根、半周长、Incenter和Inradius的三角形中的一个不等式$\left（\displaystyle\frac{AI+BI+CI}{r}+3\ge\ left（\sum_{cycle}\sqrt{s-a}\right）\ left$
边长的三角形不等式，以两种方式循环$\左（\显示样式3\左（\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a} -1个\right）\ge 2\left（\frac｛b｝｛a｝+\frac｛a｝｛c｝+\frac｛c｝｛b｝\right）\right）$
所有三角形的Lorian Saceanu不等式$\left（\显示样式\sin 2A+\sin 2B+\sin 2 C\ge 4\sin 2A\cdot\sin 2 B\cdot\sin 2C\right）$

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