角度平衡器
角形平衡器（Cevians）
让我们在这里证明所需的比例。 设AD为角度A的角平分线。三角形的面积可以用多种方法计算。 我将使用其中两个来计算三角形ABD和ACD的面积。 让 一 表示角度BAC的一半。然后 面积（ABD）/面积（ACD）=[AB·AD·sin( 一 )/2] /[AC·AD·sin( 一 )/2] =AB/AC。 另一方面，如果AH 一 是从A到BC的高度，那么 面积（ABD）/面积（ACD）=[AH 一 ·BD/2]/[AH 一 ·CD/2]=BD/CD。 将两者结合在一起可以得到所需的标识： AB/AC=BD/CD。 通过平等的传递性
作为双线轴的角平分线
如果我们采用 弗兰克·莫利的展望 , 平等的及物性 仍将存在，但仅隐式存在。 角平分线可以看作是接触两个圆的圆心的轨迹 射线 从同一点发出的。 在三角形中，有三对这样的射线。 选择任意角度并考虑其平分线。 接触角两侧的圆的中心位于平分线上。 相反，平分线上的任何一点都是接触角两侧的圆的中心。 考虑由a和b对以及b和c对形成的两个角平分线。中心位于两个平分线交点的圆接触所有三条边。 特别是，它接触边a和c，因此其中心位于这两条边形成的角的平分线上。 角平分线作为高度
三角形的高度用作关联 正三角形 。此关联可以反向使用。 
考虑ΔABC。 通过每个顶点绘制一条垂直于相应角平分线的线。 这三条线将形成一个三角形，例如Δa’B’C’。 注意，由于A'B'垂直于CL c（c） ，∠BCA'=∠ACB'。 顶点A和B的角对也是如此 镜子 属性。 正如我们所知 ，的 正方的 ΔA'B'C'的三角形具有 mirror属性 。我们很快就会利用这个观察结果。 我们现在要显示的是，等分线AL 一 、BL b条 和CL c（c） 分别通过顶点A'、B'和C'。 相反，假设它们中至少有一个没有通过相应的顶点。 那么ΔA'B'C'的正三角形不可能与ΔABC重合。 但是，假设它们不同，在ΔA'B'C'中会有两个不同的内接三角形（ABC和orthic），它们具有 mirror属性 然而，可以证明这是不可能的。 该属性只有一个三角形。 （关于正三角形的其他性质，请参阅关于 法格纳诺的问题 .) 证明非常简单。 
看起来三角形中的角 mirror属性 不是武断的。 数一数图表中的角度。 （钝角三角形和锐角三角形这两种情况应分别考虑。在前一种情况下，我们不应讨论内接三角形，而应考虑顶点位于给定三角形边上的三角形或其延伸。） 任何具有镜像特性的三角形都必须与正三角形具有相同的角度，并且其边与正三角形平行。 正如第三张图所示，对于不同于正方形的三角形，这显然是不可能的。 （类似考虑在 其中一个证明 属于 莫利定理 .) 复数
正如在 海拔研究 ，让给定三角形的顶点位于单位圆上。 为了方便起见，让我们把它们当作复数的平方：x 1 2 ，x个 2 2 、和x 三 2 .圆弧x的中点 1 x个 2 与顶点x相对 三 则等于±x 1 x个 2 类似地，对于圆弧x的中点 2 x个 三 和x 1 x个 三 。让我们选择x 1 ，x个 2 ，x个 三 这样所有符号都被视为“+”。 通过x的直线的倾斜 1 x个 2 和x 三 （顶点x处的角平分线 三 )由提供 M（M） =（年 三 2 -年 1 年 2 )/（x） 三 2 -x个 1 x个 2 ) =-1/（x 1 x个 2 x个 三 2 ) 它很容易给出角平分线的方程 y=-（x-x 1 x个 2 )/（x） 1 x个 2 x个 三 2 )+年 1 年 2 例如，写下第二个角平分线的类似方程， y=-（x-x 1 x个 三 )/（x） 1 x个 三 x个 2 2 )+年 1 年 三 并求解y的两个方程，因为x是y的共轭，只需稍作努力，结果就可以简化为 x=-（x 1 x个 2 +x个 2 x个 三 +x个 三 x个 1 ) 所有三个指数的对称表达式。 因此，该点也属于第三个角平分线。
工具书类
梁申汉， 复数与几何 ，MAA，1994年
