交会弦定理中的勾股定理

这一页上有几个证据利用了相交弦定理，尤其是证据##59,60、和61其中，定理应用于其弦的圆的半径分别等于ΔABC的短腿、长腿和直角的高度。鲁米斯的书在其代数证明集合中列出了这些，以及其他一些通过应用于弦的相交弦定理导出毕达哥拉斯定理的代数证明，该定理适用于添加到ΔABC中的各种奇异圆中的弦。来自布鲁塞尔自由大学数学研究所的亚历山大·瓦恩伯格提出了一个变体，似乎填补了这一系列证明中的一个遗漏。该建筑看起来也比鲁米斯列出的任何建筑都更简单、更自然。真是个惊喜！

考虑半径等于半斜边的ΔABC的外接圆（r=c/2）。

在图中，DF是垂直于BC侧的直径，并用作其垂直平分线。E和H分别是BC和AC的中点EO=瑞士。从相交弦定理,

CE×EB=DE×EF，

以边长a、b、c表示为

（a/2）²=（c/2-b/2）（c/2+b/2）。

这简化为所需的a²=c²-b²。

亚历山大也观察到那个相交弦定理显示为欧几里得三世35:如果在一个圆中，两条直线相互切割，则其中一条线段所包含的矩形等于另一条线段包含的矩形。这里的证明可能是书中最长的证明之一，分四个步骤进行，更糟糕的是，它利用了毕达哥拉斯定理本身。幸运的是，人们避免了一个恶性循环最简单优雅的证明相交弦定理的一部分，它只需要三角形的相似性和等式内接角由一个圆中的同一条弧所包含，这两条弧的证明都不依赖于毕达哥拉斯定理。

斯科特·布罗迪（Scott Brodie）解释了欧几里德（Euclid）证明中的一种特殊策略欧几里得三世35（以及欧几里得三世.36). 欧几里得显然是在毕达哥拉斯定理的基础上从事精湛的“几何代数”，这一简单原因是为了避免因相似性而争论，他不得不推迟到年详细发展了他精心设计的比例理论之后第五册.

最后，相交弦定理适用于H点的同一图表。事实上，因为HO＝a/2， GH×HI=AH×HC给予（c/2-a/2）（c/2+a/2）=（b/2）（b/2，以同样的成功程度。

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