毕达哥拉斯定理

欧几里德的证明依赖于他的《元素》中的另外两个命题：

（VI.19） 相似的三角形以相应边的重复比率彼此相连。

（6月20日） 相似的多边形被分成相似的三角形，并分成数量相等、比例与整体相同的三角形，多边形与多边形的比例是相应边与相应边的比例的副本。

所以，如果我们有两个形状与线段有某种关系，它们的面积会与线段的平方成比例地变化。因此，如果正方形的面积为²，对于与长度a段相关的另一个形状，面积为我一²，其中系数我取决于特定的形状。然后，一般性声明声称，如果在直角三角形的侧面建立三个类似的形状（a、b、c）那么他们的区域就会满足

我一²+我b²=我c（c）²

正如我们提到的，欧几里德已经证明了他对任意多边形的声明。虽然这句话本身更为笼统，但它所导致的恒等式显然与毕达哥拉斯定理的更传统版本中所断言的恒等性等价。

因此，可以说，如果在类似形状的特定情况下显示身份，那么其他形状也会显示身份。

但有一个案例实际上微不足道。考虑在给定三角形的边上建立的类似三角形。斜边上的三角形就是原来的三角形（见证明#6）。另外两个位于从直角下降的高度两侧。就是这样。（从另一个角度来看，这个论点是在别处讨论. [施罗德第3-4页]，参考可靠来源，提到这一证据是由a.爱因斯坦在11岁时发现的。）

下面是Euclid证明的Java小程序演示。开始在三角形附近拖动鼠标。您将看到三个类似的三角形构建在原始三角形的两侧。将鼠标拖动到其右角。

小程序底部右侧的三个数字表示三个三角形的面积。为了计算面积，我实际上使用了毕达哥拉斯定理本身和Heron公式

S公司²=p（p-a）（p-b）（p-c），

其中p=（a+b+c）/2；a、 b，c是面积为S的三角形的边。

除上述内容外，小程序生成的两个特定配置特别具有启发性。很明显，三角形1和2的面积加起来等于三角形3的面积。

斯科特·布罗迪指出了这一点。小三角形只是折叠起来填充大三角形。

埃利·毛尔[马奥尔第116页]认为这个变体是毕达哥拉斯定理的最简短的证明。他指出，它被列为几何证明230Loomis系列这是俄亥俄州扬斯通市19岁（1934年）的斯坦利·贾舍姆斯基（Stanley Jashemski）的作品。

（从稍微不同的角度讨论欧几里德VI.31在别处.)

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