摆线
下面的小程序模拟用于绘图的模拟设备（轮子）摆线。按下开始按钮后，小圆开始滚动。在绘图区域中随时单击可以将光标下的点以刚性方式附着到圆上。将为点指定随机颜色，以便跟踪其运动。
这样绘制的曲线称为沙眼。如果跟踪的点位于滚动圆上，则在这种特殊情况下，生成的曲线称为摆线。我们不会区分这两个家族。可以使用控制面板左侧的单选按钮选择三类摆线：
- 规则（r），圆沿直线滚动
- 圆内旋轮线（h） ，一个圆在另一个圆的内侧滚动
- 外摆线（e） ，一个圆在另一个圆的外侧滚动
在所有情况下，点都会同时参与两个运动，其中一个运动是小圆围绕其中心旋转。此旋转相对于其中心运动的速度可以使用<和>按钮进行修改。开始时，它被设置为1，这意味着圆圈滚动时不会打滑。滑倒会随着速度的增加而增加。对于分数速度（小于1），会出现拖曳效果，从而使旋转相对于滚动减慢。
下环类具有一些意想不到的特性属性例如，将小圆的半径调整为大圆半径的一半。然后这些点跟踪直线段或椭圆.
对于准摆线和外摆线，R/R按钮控制两个圆的半径比。它们仅在按下或按下重置按钮后立即生效。还可以通过拖动圆心来更改小圆的半径。
有两种方法可以模拟跟踪摆线。一种是简单地使用定义极坐标曲线的公式。第二种方法是每次改变点的位置时，对点进行小变换。稍后我将描述这两种方法。有一个“公式”复选框，用于控制计算过程的选择。
最后，如果选中“Curves only”按钮，设备本身（一条线和一个圆或两个圆）将不可见。
啊，我忘了。有一个限制-同时跟踪的最大点数目前为50。即使对最严肃的艺术家来说也应该足够了。
下面是用applet制作的两个图片示例：
外摆线
下环类
它是如何工作的？
摆线是由车轮上在另一条曲线上滚动的点来追踪的，通常是直线或另一个固定的圆。由于涉及到旋转，我发现使用复杂的变量符号是很自然的。A类复数 x+iy与二维向量唯一相关（x，y）向量和复数可以看作是用不同符号书写的同一对象。但这只是部分正确。与二维向量不同，复数可以相乘。复数的普通乘法定义如下：
（x）1+是的1)·（x2+是的2)=（x1·x个2-年1·年2)+i（x1·年2+x2·年1)
这个定义有很好的理由。如果你考虑一个特殊的情况x=0和y=1你会发现的
i·i=（0+i·1）·（0+i·1）=（0·0-1·1）+i（0·1+1·0）=-1。
这个特殊的数字i使复数变得复杂。
下一步是从向量中借用长度的概念。复数与向量一样，其长度（或模）的计算方式完全相同：
|x+iy|=√x²+y²
此外，作为向量，每个复数都与一个角度相关，而不仅仅是一个角度，这样，如果r=|x+iy|，然后
x+iy=r·（cos（a）+i·sin（a））
对于那些记得这两件事的人三角公式
sin（a+b）=sin（a）·cos（b）+cos（a）·sin（b）
cos（a+b）=cos（a）·cos（b）-sin（a）.sin（b）
很明显，乘以复数（cos（a）+i·sin（a））相当于围绕原点（0,0）以正（逆时针）方向旋转角度a。由于完全旋转会将平面返回到原始位置，因此与复数相关的角度是唯一确定的模 360o个= 2第页.
最后，如果回忆一下欧拉和德莫伊夫的公式，复数就变得更加方便了
e（电子）国际航空公司=cos（a）+i·sin（a）和
（cos（a）+i·sin（a））n个=cos（na）+i·sin（na）
旁白
替换a=第页我们得出了我认为的数学中最显著的恒等式，即。
e（电子）我第页+ 1 = 0.
这个恒等式以一种令人惊讶的方式将五个基本的、显然不相关的数学常数联系在一起-0、1、i、e和第页.
现在一切都应该很简单。摆线被绘制为旧（最后）点之间的一系列直线和新计算的。在后一步中，两种计算方法的结果不同新观点。选中“公式”框后，将根据以下特定公式计算新点给定参数T（时间）。这个公式是已知的，当然，它是提前推导出来的。在复选框未选中的情况下，旧的点只经过两次连续变换（其中一次总是旋转围绕小圆心）。小圆的中心也会作为跟踪点之一移动。
所以让z=x+iy是一个泛型复数-一个跟踪点。也让zc（c）成为滚动圆的中心，我将其半径表示为r.d，表示从z到z的距离c（c）. 对于次摆线和外摆线，设z0和R支架分别表示固定圆的中心和半径。那么，将旧点转换为新点意味着：
| 转型 | 公式 |
| 摆线 |
z（z）新的-zc（c）=（z古老的-zc（c）)·d·e输入/输出
z（z）c、 新的=zc、 旧的+1 |
z（z）新的=（T+ir）+d·eiT/r（输入/输出）
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| 外摆线 |
z（z）中间-zc（c）=（z古老的-zc（c）)·e红外线/红外线
z（z）新的-z0=（z中间-z0)·e我
z（z）c、 新的-z0=（zc、 旧的-z0)·e我
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z（z）新的=（R+R）e信息技术+（研发）eiT（R+R）/R
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| 下环类 |
z（z）中间-zc（c）=（z古老的-zc（c）)·e-iR/r
z（z）新的-z0=（z中间-z0)·e我
z（z）c、 新的-z0=（zc、 旧的-z0)·e我
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z（z）新的=（R-R）e信息技术-（研发）eiT（R-R）/R
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为什么要实施两种方法来实现相同的目标？
无聊时，整天坐在火炉前
记下脑海中浮现的每一件小事，
很容易摆脱烦恼。
无聊的笔记，细西贤子
日本作家，1283-1350年
原则上，这两种方法都应产生相同的点集，从而产生相同的曲线。实际上，情况可能并非如此。很明显，所有计算都是在有限的精确的运算会导致一些误差。最常见的错误是现代PC不应引人注目。然而，如果数值计算的结果是daisy-chined并且在其他计算中重复使用，原始误差很容易传播，此外由于后续计算产生的新误差，滚雪球般地形成了一个非常明显的偏差根据预期结果。
这就是我对“转型”方法的预期。当让转圈几分钟后，错误本应突然出现，产生非常令人愉快的视觉效果。我预计曲线会偏离应用“公式”绘制的更稳定的曲线。这可能是一个警告所有接受数值计算绝对准确的人。好吧，你知道什么。一、 首先，无法耐心等待这一切发生。Java做得很好实施者。然而，必须的是R/R=10外摆线确实有一些偏差大约15分钟后。第二个让我失望的是，它一点也不好看。种类无足轻重。可能不得不等待更长时间。
还有一些难题可以通过其他方法解决，但设备绘制和观察摆线证明很方便。
- 两枚硬币拼图
- 火车车轮进退两难
- 哥白尼定理
- 心脏病患者的热忱咀嚼
工具书类
- D.Hilbert和S.Cohn-Vossen，几何学和想象力，Chelsea Publishing Co，纽约，1990年。
- V.Gutenmacher，N.Vasilyev，直线和曲线：实用几何手册，Birkhauser；第1版（2004年7月23日）
在互联网上
- 特殊平面曲线的可视化词典
- 著名曲线指数
