余弦定律（余弦法则）

余弦定律（也称为余弦规则或余弦定律）是勾股定理在这种情况下，可以从余弦定律的公式中获得后者的公式。然而，前者的所有证明似乎都隐含地依赖或明确地考虑了毕达哥拉斯学说定理。例如，要全面，即涵盖案例µ = 0,下面的证明应该单独考虑这种情况，因为它不遵循其他两种情况（µ<90和µ>90）。因此，在证明余弦规则的过程中，人们直接证明了勾股定理。因此，我很难断言余弦规则暗示毕达哥拉斯定理。我很想知道余弦规则完全独立于勾股定理的任何证明。

注释

朱利安·吉尔贝（Julian Gilbey）对最后一句话提出了质疑：在余弦定律（Law of Cosines）页面上，你会说：“我很想知道余弦规则完全独立于毕达哥拉斯定理的任何证明。”答案是，不可能有这样的事：余弦定律只在欧几里德几何中成立，不是在球面或双曲线几何中，所以必须取决于平面的公制。欧几里德平面的度量是精确的ds²=dx²+dy²，这相当于断言毕达哥拉斯持有。对于任何其他度量，毕达哥拉斯都不成立，因此余弦定律也不成立。

然而，John Molokach拿出证据似乎没有使用毕达哥拉斯定理。如何解释这个悖论？

余弦定律

对于有边的三角形一,b条、和c（c）与c侧相对的角度µ

c（c）²=a²+b条²-2ab·cos（µ）

以下是由发送给我的余弦规则的证明斯科特·布罗迪博士来自纽约西奈山医学院。一开始，当提到直角三角形时，布罗迪博士指的是他的证明毕达哥拉斯定理。

证明

如果原来的三角形不正确，人们仍然可以询问它们之间的关系侧面的长度。具体来说，取给定的a和b，BC和AC侧的长度，分别考虑AB侧的长度c，作为µ的函数，c处角度的大小。我们需要“点的幂”定理的另外两种形式：如果两个这样的割线直线切割同一个圆，即沿每条直线到近距离和远距离的乘积每个割线的交点相同；如果圆的两条弦在圆的内部，然后是从交点到沿着一个弦的每个方向上的圆与距离的类似乘积相同沿着另一个弦的圆圈。

有三种情况：

如果三角形是锐角，则构造三个高度，如前所述，用直径BC和AC。和以前一样，从C到AB的高度的英尺，以及这两个圆在一个点重合，例如P，它将AB切成长度为BP和PA的线段x个和年分别是。如果Q表示距离A的高度脚，则AQC角是正确的，Q位于直径为AC的圆上。检查确认QC为长度b条cos（µ）。类似地，让R表示距离B的高度脚；则R位于圆BC上，RC为长度的一cos（µ）。那么两个割线状态的幂定理，对于点B相对于圆AC的功率，即一(一 - b条cos（µ）=xc公司; 对于点A相对于圆BC的幂，我们有b条(b条 - 一cos（µ）=yc公司. 将这两个方程相加立即得到一² + b条²-2个ab公司cos（µ）=(x个 + 年)c（c） = c（c）², 这就是余弦定律。

如果原始三角形是钝角的，则还有两种情况：

如果角C是钝角，那么从C开始的高度与AB边相交，比如在P，但是高度从A到B位于三角形的外面。这些高度的英尺位于用直径为AC和BC的圆生成的BC和AC侧的交点，分别；叫他们Q和Rx个和年表示BP和PA的长度。由于角C是钝角，cos（µ）小于零，RC和QC的长度为和-一cos（µ）和-b条cos（µ）。那么我们有B的力量关于圆AC一(一 - b条cos（µ）=xc公司，对于A相对于BC圆的幂b条(b条 - 一cos（µ）=yc公司如前所述，将这两个方程相加将得到余弦定律。

最后，如果角C是锐角，但是，比方说，角B是钝角，那么从B开始的高度会降低AC边，例如R，但A和C的高度位于三角形外，并与两侧相交CB和AB分别产生于，例如Q和P。如前所述，Q和P位于圆圈上直径分别为AC和BC。用表示距离BPz（z）由于钢筋混凝土的长度是一cos（µ），而QC的长度为b条cos（µ），我们的功率A相对于圆BCb条(b条 - 一cos（µ）=(c（c） + z（z）)c（c），同时，利用内点的幂定理，我们得到了B相对于圆形AC一(b条cos（µ）-一)=========================================================zc（零成本）.在此案例，减法第一个方程的第二个方程产生余弦定律。量化宽松政策。

Broddie博士还提供了一个漂亮的“动态”图形作为Geometer的Sketchpad文件其中移动顶点“C”可以在不同的证明情况之间很好地自动切换。

其他证明可以在其他地方找到。一个无文字证明是对这是伊本·库拉的证据的毕达哥拉斯命题。还有一个“展开变体。”此外，余弦定律承认了由拉里·霍恩它以另一种方式推广了毕达哥拉斯定理。

三角学

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