cos 36°

本页旨在确定

\（\cos（36^{\circ}）=\displaystyle\frac{（1+\sqrt{5}）}{4}）。

这是一个很好的三角学练习，也有助于解决好奇桑加库问题.

我们从常规五角大楼开始。与每个正多边形一样，这个多边形也是循环的。所以我们可以假设它的顶点位于圆上，边和对角线形式内接角.

因此，正五边形的每个角都等于（108^{circ}）。内接的\（\angle CAD \）是中心角\（72^{\circ}=\displaystyle\frac{360^{\circ}}{5}\）的一半，即。

\（角度CAD=36^{\circ}\）。

通过对称性\（\angle BAC=\angle DAE\），意味着这两个也是\（36^{\circ}\）。（顺便注意，我们刚刚证明了角度（108^{circ}）是三等分的。）图中指定的其他角度也很容易计算。

就直线段而言，我们可以观察到三角形（ABP）、（ABE）、（AEP）是等腰的，特别是，

\（AB=BP），
\（AB=AE），
\（AP=EP）。

三角形ABE和AEP也很相似，特别是

\（BE/AB=AE/EP\），或
\（BE乘以EP=AB^{2}），即。
\（（BP+EP）乘以EP=AB^{2}），最后，
\（（AB+EP）\乘以EP=AB^{2}\）。

对于比率\（x=AB/EP \），我们有以下等式

\（x+1=x^{2}\），

用一个正解（x=\phi）黄金比率（这些计算实际上是为了证明建设普通五角大楼。为了便于参考，我们在这里再次讨论它们。）

在（三角形AEP）中，（AE=AB）和（EP）是这样的边之一：。从\（P\）到\（AE\）垂直放置一个垂线，得到两个直角三角形。然后说，

\（cos（角度AEP）=（AE/2）/EP=（AE/EP）/2=\phi/2\）。

但是（角度AEP=36^{circ}），我们得到了期望的结果。

使用\（\cos（36^{\circ}）=（1+\sqrt{5}）/4\）我们可以找到

\（\ cos（18^｛\circ｝）=\ sqrt｛2（5+\ sqrt｛5｝）｝/4\）

从\（\cos2\alpha=2\cos^{2}\alpha-1\）开始，然后

\（\sin（18^{\circ}）=\sqrt{2（3-\sqrt{5}）}/4\）

来自\（\cos^{2}\alpha+\sin^{2neneneep \alpha=1\）。现在，可能很难相信，但这个表达式简化为

\（\sin（18^｛\circ｝）=（\sqrt｛5｝-1）/4\），

通过将两个表达式平方，立即验证了这一点。阿尔索

\（\sin（36^{\circ}）=\sqrt{2（5-\sqrt{5}）}/4\）

来自\（\sin 2\alpha=2\space\sin\alpha\space\cos\alpha\）。

我们可以很容易地从（\cos2\alpha=2\cos^{2}\alpha-1\）中找到\（\cos（72^{\circ}）\）：

$\开始｛align｝\cos（72^{circ}）&=2\cos^{2}（36^{cic}）-1\\&=2[（\sqrt{5}+1）/4]^{2}-1\\&=（6+2\sqrt{5}/8-1\\&=（3+\sqrt{5}/4-1\\&=（\sqrt{5}-1）/4。\结束{对齐}$

当然，这等于通式中可能预期的（sin（18^{\circ}）），（sin\alpha=\cos（90^{\circ}-\alpha））。

当然，

\（\sin（72^{\circ}）=\sqrt{2（5+\sqrt{5}）}/4\）

因为\（\sin（72^{\circ}）=\cos（18^{\circ}，）。

最后，让我们计算$\sin 54^{\circ}:\$

$\显示样式\开始{align}\sin 54^{\circ}&=\sin 36^{\circ}\cos 18^{\ circ}+\cos 36^{\ circ}\sin 18^{circ}\\&=\displaystyle\frac｛\sqrt｛2（5-\sqrt｛5｝）｝｝｛4｝\cdot\displaystyle\frac｛\sqrt｛2（5+\sqrt｛5｝）｝｝｛4｝+\displaystyle\frac｛1+\sqrt｛5｝｝｝｛4｝\cdot\displaystyle\frac｛\sqrt{5}-1}{4}\\&=\displaystyle\frac{\sqrt{5}+1}{4}，\结束{对齐}$

因为$\sin 54^{\circ}=\cos 36^{\circ}$

三角学

斐波那契数

几何中的黄金比例

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