推论示例
勾股定理

这个勾股定理在几何学和一般数学中起着重要作用。在这一页上，我将尝试收集一些陈述，其中一些证明依赖于勾股定理。

算术-几何平均不等式

对于正的$a$和$b，$$（a+b）/2≥\sqrt｛ab｝，当$a=b相等时为$$

为了证明，假设$a>b$并构造一个直角三角形，斜边为$（a+b）/2$，一边等于$（a-b）/2.$根据勾股定理，另一边等于$\sqrt{ab}.$因为在直角三角形中，斜边是最大的边，所以不等式在$a>b.$的情况下得到了证明$

有人可能会争辩说，证明来自代数恒等式

$（a+b）^{2}-（a-b）^}=4ab$

在这种情况下，勾股定理提供了直观的几何说明。只需画两个半径为$a/2$和$b/2$的接触圆，如图所示。

$（a+b）/2$被称为算术平均值数字$a$和$b；$$\sqrt{ab}$是它们的几何平均值也称为平均比例因为如果$k=\sqrt{ab}$，那么$a/k=k/b$，反之亦然。

和案件中一样等周不等式，AM-GM不等式还允许两个等价的极值问题：

在所有具有给定乘积的数对中，找到两个和最小的数对。
在所有具有给定和的数对中，找到两个其乘积最大的数。

在这两种情况下，当两个数字重合时，便可获得极值。后一个事实有一个很好的几何说明，这也为算术平均值-几何平均值不等式提供了另一种证明。

前者通常以不同的形式重写：

(1)

对于$x>0，$$x+1/x\ge 2，$x等于1$

当序列的长度为2美元的力量$从这里开始任意的整数.（1）还扩展到任意数量的正数：

设$x{i}>0，$$i=1,2，\ldots，n.$然后$x{1}/x{2}+x{2{2/x{3}+\ldots+x{n}/x}1}$

事实上，更多是真的。对于正$x_{i}$，让p是任意的置换索引集$\{1，\ldots，n\}.$然后

$x{1}/x{p（1）}+x{2}/x}p（2）}+ldots+x{n}/x_{p（n）}$

余弦规则

这个余弦规则是勾股定理的明显推广。然而，它不使用三角函数的变体是后者的直接结果。

引理

三角形两边的平方差等于它们在第三边投影的平方差：

(2)

$AB^{2}-BC^{2}=AH^{2}-CH^{2}$

为了证明，请两次使用毕达哥拉斯定理：$AB^{2}=AH^{2{+BH^{2]$和$BC^{2neneneep=CH^{2neneneei+BH^}.$从一个方程式中减去另一个方程式。

从（2）开始，$BC^{2}=AB^{2neneneep+CH^{2{-AH^{2].$如果$ABC$是一个锐角三角形，则$CH=AC-AH$

(3.1)

$BC^{2}=AB^{2{+AC^{2neneneep-2\cdot AC\cdot AH$

如果角度$A$是钝角，则$CH=AC+AH$和（2）得出

(3.2)

$BC^{2}=AB^{2{+AC^{2neneneep+2\cdot AC\cdot AH$

点的轨迹

给出$A$和$C$分。求一点$B$的轨迹，对于该点，到$a$和$C$的距离平方差为常数。

上面的引理给出了这个问题的直接解决方案。设$AC$上的点$H$是这样的$AH^{2}-CH^{2{=K，其中$K$是一个给定的常数。然后，如（2）所示，$AB^{2}-BC^{2{=K，$表示垂直于$AC$到$H的直线上的任何$B$$

不同的线对应不同的常数$K.$。实际上，$H$的位置直接依赖于$K$，因此$H$和$K$之间的对应关系为1-1。

给定半径分别为$R$和$R$的两个圆$（O）$和$（O）$。根轴上的点$X$满足$OX^{2} -右^{2} =oX^{2} -r（右）^{2}.$ 换句话说，$OX^{2} -oX（零X）^{2} =R^{2} -r（右）^{2} =\mbox{const}.$我们刚刚获得的结果可以重新表述为：

让$\mathcal{O}（X）$成为点的幂$X$关于$（O），$$\mathcal{O}（X）$点$X$相对于$（O）的幂。$那么$\mathcal{O}（X）-\mathcal{O}（X）$为常量的点$X$的轨迹是一条平行于径向轴两个圆圈中的一个。

斯图尔特定理

考克塞特和格雷策评论说，下面的定理是以M.斯图尔特的名字命名的，他于1746年提出了这个定理，但可能是由阿基米德于公元前300年左右发现的。然而，第一个已知的证明是由R.Simson于1751年提出的。

设点$D$位于$\Delta ABC.$的顶点$A$和$C$之间然后

$AB ^｛2｝\cdot DC+BC ^｛2｝\cdot AD-BD ^｛2｝\cdot AC=AC\cdot DC\cdot AD$

为了明确起见，让$H$（海拔高度$BH的英尺）$位于$D$和$C之间，如图所示。将（3.1）应用于$\Delta BCD$，将（3.2）应用于$\Delta ABD:$

$BC^{2}=BD^{2{+DC^{2neneneep-2\cdot DC\cdot DH\\AB^{2}=BD^{2{+AD^{2neneneep+2\cdot AD\cdot DH$

将第一个标识乘以$AD，第二个标识乘以$DC，$，然后将二者相加

$\开始{align}BC^{2}\cdot AD+AB^{2neneneep \cdot DC&=BD^{2{\cdot（AD+DC）+DC^{2]\cdot AD+AD^{2neneneei \cdot DC\\&=BD^{2}\cdot AC+AD\cdot DC\cdot AC。\结束{对齐}$

中间带

假设$D$是$A$和$C之间的中点$像往常一样，设$a=|BC|，$$b=|AC|，$$c=|AB|，$和$m_{b}=|BD|.$除以$a后，$Stewart定理的形式如下

$m_{b}^{2}=（a^{2]+c^{2{）/2-b^{2neneneep/4$

海拔和鹭鸟公式

注意，（3.1）适用于锐角，而（3.2）适用于钝角。因为在三角形中，只有一个角可能是钝角，所以（3.1）始终适用。例如，角度A为锐角。然后从（3.1）

$a^{2}=b^{2{+c^{2neneneep-2b\cdot AH$

另一方面，在直角三角形$AHB中，$$BH^{2}=c^{2neneneep-AH^{2{$与前面的恒等式结合，得到

\开始｛对齐｝BH^{2} &=c^{2}-（b^{2{+c^{2]-a^{2neneneep）^{2neneneei/（4b^{2%n）\\&=（c-（b^{2}+c^{2{）-a^{2neneneep）/（2b））\\&=（2bc-b^{2}-c^{2{+a^{2neneneep）（2bc+b^{2neneneei+c^{2｝-a^{22.6）/（4b^{2]）\\&=（a^{2}-（b-c）^{2{）（（b+c）^}-a^{2]）/（4b^{2neneneep）\\&=（b-a+c）（b+a-c）（a+c-b）（a+b+c）/（4b^{2}）\结束{对齐}

介绍半周长$p=（a+b+c）/2.$然后

$BH^{2}=4p（p-a）（p-b）（p-c）/b^{2{$

这只是另一种写作方式Heron公式因此，毕达哥拉斯定理和Heron公式这两个事实都有独立的证明。但是，除此之外，每一个都可以从另一个派生而来。

备注

S.布罗迪博士很好地准备了一个关于毕达哥拉斯定理如何用于构造一个正五边形他还观察到定理是相等的致名人平行（或第五）假设.

最后，有一个有趣的，只有最近发现的，应用程序定理和有趣的谜题这个定理有助于求解。

环的面积

圆的面积取决于一个参数：半径。对于半径$R，$等于$\pi R^{2}.$奇怪的是，圆环的面积(环形空间)也就是说，两个同心圆之间的形状也取决于单个参数[罗勒, #25].

该参数是外圆与内圆相切的弦长（或者更方便地说，是其半长）。如果a表示所讨论的弦的一半，则圆环的面积由$\pia^{2}.$给出要了解为什么会这样，请绘制两个圆的半径，以完成直角三角形。应用毕达哥拉斯定理。

它可以争论与毕达哥拉斯定理无关，固定长度线段扫过的面积无论是围绕其一个点旋转还是与给定曲线相切而滑动都是相同的。建立这个结果将为勾股定理提供额外的证明。

工具书类

H.S.M.Coxeter、S.L.Greitzer、，重新访问的几何图形，MAA，1967年
R.B.内尔森，无文字证明，MAA，1993年
D.罗勒，更多思想倡导者，重点课程出版社，1994年

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