角度三截面

通过阿基米德
（约公元前287年至公元前212年）

雪城的阿基米德因其在洗他的澡“尤里卡”他惊呼道，并将其载入历史。（与牛顿和高斯一起，他被认为是有史以来最伟大的数学家之一。作为一名工程师，他挫败了罗马人占领锡拉丘兹市的多次尝试。）

构造一个等于给定角度三分之一的角的问题已经被考虑过了自古以来。可能会使“几何结构”的概念更加丰富古希腊人将允许的操作限制为使用直尺和指南针。它是因此明确禁止使用尺子进行测量。三大施工问题一直持续到19世纪初无法解决只有一把直尺和一个指南针的帮助。这三个问题是：给定角度的三等分，立方体的两倍，以及使圆成方形然而，阿基米德著作中发现的一种非法解决方案如下所示。（这是他的提案8引理书.)

Java小程序有两个控制环。拖动一个（B）以指定三等分的角度（<AOB）。另一个（C）沿x轴滑动，用于实际解决问题。点D为CD=OB。问题是当D落在圆上时求解。你知道为什么吗？

2016年1月2日，创建日期：GeoGebra公司

（希波克拉底的Chios给出了一个不同的早期neusis结构即使用除直尺和指南针以外的工具的结构。我们还有一个21标准世纪建筑这表明数学中的一些问题永远不会失去吸引力。）

参考

  1. R.Courant和H.Robbins，什么是数学？，牛津大学出版社，1996年
  2. H.Dorrie，初等数学100大问题，多佛出版社，纽约，1965年。
  3. W.Dunham，数学世界，John Wiley&Sons，纽约，1994年。
  4. J.H.Conway和R.K.Guy，《数字之书》纽约州斯普林格·弗拉格，1996年。

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解决方案

∠BCA等于CB和CA线在圆上切割的拱差的一半。假设D位于圆上。然后∠DOK测量拱DK，而∠AOB测量拱AB。因此，

∠DCO=（∠AOB-∠DOK）/2。

然而，由于CD=DO，∠DCO=∠DOK。将这两个恒等式结合起来会产生

∠DCO=（∠AOB-∠DCO）/2。

求解得出3∠DCO=∠AOB。

这是来自巴西的Jorge Hygino Braga Sampaio Jr.的另一种方法。

你好，亚历克斯。

角三等分的解可以在简单明了。考虑一下页面中显示的数字。第一，延伸射线DO，直到它在E处穿过圆圈。ΔDCO为等腰的。以便∠DCO=∠DOC等于，比如1q。因此，∠BDO=2个。ΔOBD也是等腰的，这使得∠车载诊断=2q。这意味着∠BOE=4q，最后，∠BOA=3q。显然，最大的困难是找到D点！

鲁本·罗斯塔米安提出了第三种方法。

图中的三角形CDO是等腰的。设其每个底角的大小为q外角定理，顶点D处的外角是两个底角的和，因此为2q。

三角形DOB是等腰的，因此其底角相等。我们已经证明，在它的顶点D处的角度是2q，因此在它的顶点B处的角度也是2q。

在三角形COB中，顶点C和B的内角为q和2q，如上所示。由外角定理，外部在顶点O处的角度是q+2q，这是3q。量化宽松政策。

阿基米德引理书

  1. 提议1:如果两个圆在A处接触，如果CD、EF是两个圆中平行的直径，则ADF是一条直线.

  2. 提议2:设AB是一个半圆的直径，并使其在B处以及其上任何其他点D处的切线在T中相交。如果现在DE垂直于AB绘制，如果at、DE在F中相交，则DF=有限元。.

  3. 提案3:设P为圆心为AB的圆上的任意点，设PN垂直于AB。取AB上的D，使AN=无。如果现在PQ是一个等于PA弧的弧，并且BQ被连接，那么BQ、BD应相等.

  4. 提案4:如果AB是半圆的直径，N是AB上任何一点的直径，如果半圆在第一个半圆内描述，并且分别以AN、BN作为直径，则包含在这三个半圆圆周之间的图形是“阿基米德所说的”阿贝洛斯“；其面积等于PN上的圆作为直径，其中PN垂直于AB并与P中的原始半圆相交.

  5. 提议5:设AB是半圆的直径，C是AB上任意一点的直径，CD垂直于半圆，并在第一个半圆内描述半圆，以AC、CB为直径。然后，如果画两个圆接触不同侧面的CD，每个圆接触两个半圆，则画出的圆将相等.

  6. 提案6:设AB，半圆的直径，在C处除以，使AC=3/2·CB[或以任何比率]。描述第一个半圆内的半圆，并在AC、CB上表示直径，假设画一个接触所有三个半圆的圆。如果GH是该圆的直径，则找出GH和AB之间的关系.

  7. 提案7:如果圆的外切和内切在一个正方形中，则外切圆是内切正方形的两倍。.

  8. 提案8:如果AB是圆心为O的圆的任何弦，并且如果AB生成C，则BC等于半径；如果进一步的CO与D中的圆相遇，并在E中产生第二次与圆相遇，则电弧AE将等于电弧BD的三倍.

  9. 提案9:如果在一个圆中，不穿过中心的两个和弦AB、CD以直角相交，则（电弧AD）+（电弧CB）=（电弧AC）+（弧DB）.

  10. 提议10:假设TA、TB是一个圆的两条切线，而TC切割它。让BD是通过B平行于TC的弦，让AD在E中与TC相交。然后，如果EH垂直于BD绘制，它将在H中平分它.

  11. 提案11:如果圆中的两个和弦AB、CD在一个点O（不是中心）以直角相交，则AO公司2+BO公司2+合作2+做2=（直径）2.

  12. 提议12:如果AB是半圆的直径，TP、TQ是从任意点T到它的切线，如果AQ、BP在R中相交，则TR垂直于AB.

  13. 提案13:如果圆的直径AB与E中的任何弦CD（而不是直径）相交，并且如果AM、BN垂直于CD绘制，则CN=马克。

  14. 提案14:设ACB是AB上的一个半圆作为直径，AD、be分别是从a、B沿AB测得的长度相等。在AD上，BE表示直径，表示朝向C的一侧的半圆，在DE上，表示直径，则表示另一侧的半圆形。让第一个半圆的中心通过O垂直于AB的方向分别与C、F中相对的半圆相交。然后，由所有半圆的圆周所围成的图形面积应等于CF上的圆面积（作为直径）.

  15. 提案15:设AB为圆的直径。，AC是刻有正五边形的一面，D是弧AC的中点。加入CD并制作它，以与E中生成的BA相接；在F中加入AC、DB会议，并绘制垂直于AB的FM。然后EM=（圆半径）。

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