三角恒等式的另一面及证明

2007年爱尔兰数学奥林匹克竞赛第二题需要证明恒等式\（\mbox{sin}^{2}\alpha+\mbox}sin}^}2}\beta+\mbax{sin}^{2{gamma=2\），其中\（\alpha+/\beta+/\gamma=180^{circ}\）当且仅当角度\（\alpha\）、\（\beta\）或\（\gamma\）中的一个正确时成立。这个等效恒等式\（\cos^{2}\alpha+\cosqu{2}\ beta+\cos ^{2{\gamma=1）然后以勾股定理我注意到在接下来的转世中

勾股定理的三角形式

这是波兰在1967年国际数学奥林匹克运动会上提出的[国际海事组织简编第46页]。

这三种配方的等效性显而易见。因此，下面的证明涵盖了所有三个方面。

假设\（\alpha+\beta+\gamma=180 ^｛\circ｝\）。然后是身份

\（\cos^{2}\alpha+\cosqu{2}\ beta+\cos ^{2{\ gamma=1\）

当且仅当角度\（\alpha\）、\（\beta\）或\（\gamma\）之一正确时保持。

证据1

将标识乘以2并重新分组：

\（（（2\cos^{2}\alpha-1）+（2\cos^{2]\beta-1）+2\cos^}\gamma=0\）。

由双参数公式，\（2\cos^{2} t吨-1=\cos（2t）\），这将转换为

\（\cos2\alpha+\cos2\ beta+2\cos^{2}\gamma=0\）。

接下来应用版本公式\（\cos（2s）+\cos

\（\cos（\alpha-\beta）\cos。

考虑到，根据问题的规定，\（\cos\gamma=-\cos（\alpha+\beta）\），我们将后者考虑在内

\（\cos\gamma\space（\cos（\alpha-\beta）-\cos\gamma）=0\）。

因此，\（\cos\gamma=0\）或\（\ cos（\alpha-\beta）-\cos\gamma=\cos（\ alpha-\ beta）+\cos。在前一种情况下，\（\gamma\）是正确的。

在后一种情况下，\（\cos（\alpha-\beta）+\cos。

证据2

正如表达式$\cos^2\alpha+\cos*2\beta+\cos ^2\gamma=1\下面的注释所建议的那样，$可以转换为

$（-a^2+b^2+c^2）（a^2-b^2+c^2$

具有必要的含义。这是根据已知身份

$\cos^2\alpha+\cos*2\beta+\cos2\gamma+2\cos\alpha\cos\beta\cos\gamma=1\$

和余弦定律:

$\显示样式\cos\gamma=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}，\ldots$

证据3

这是麻省理工学院Itagi的证明。

如果三角形是正确的，WLOG让$\alpha=90^o$。因此，

$\显示样式\开始{align}&\裂缝{\sin^2\alpha+\sin^2\beta+\sin|2\gamma}{\cos^2\ alpha+\cos|2\beta+\cos2\gamma}\\&=\压裂｛1+\sin^2β+\sin^2（90^o-\beta）｝｛\cos^2β+\cos^2（90^o-\beta）｝\\&=\frac{1+\sin^2\beta+\cos^2\beta}{\cos_2\beta+\sin_2\beta}=2\结束{对齐}$

反之，设$d$为外接圆的直径。使用正弦规则，

$\显示样式\开始{align}&\frac｛\sin^2 \alpha+\sin^2β+\sin^2γ｝＝2\\\右箭头\\frac{（a^2+b^2+c^2）/d^2}{3-（a^2+b^2+c^3）/d^2}=2\\\右箭头&（a^2+b^2+c^2）=2d^2\\\右箭头&（a^2+b^2+c^2）=\frac｛a^2+b^2+c^2｝｛（1+\ cos a\ cos b\ cos c）｝\\\向右箭头&\cos A\cos B\cos C=0。\结束{对齐}$

因此，其中一个余弦项为零，这个角度是直角。

工具书类

D.Djukic等人，国际海事组织简编，施普林格，2011（第二版）

三角学

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