勾股定理
证据家族
一百多年前美国数学月刊出版了一系列简短的注释，列出了勾股定理作者B.F.Yanney和J.A.Calderhead对各种口味的证据进行了额外的计算和分类。他们收集的证据V(Am数学月刊第3版，第4期（1896年），第110-113页。这是#56）提供了其彻底性的示例。根据下图，他们统计了多达4864种不同的证明。让我们跟随他们的脚步，看看这是怎么发生的。
三角形ABC与C成直角，F位于AB上，D位于，例如，AC延伸到C之外，DF垂直于AB。设E为DF和BC的交点。因此有四个相似的直角三角形。
像往常一样，出租，BC=a， AC=b， AB=c，还有CD=x， CE=y， AF=z， BE=a-y， BF=c-z， AD=b+x， EF=v， DE=w， DF=v+w，我们通过其得出的方程式得出以下比例：
| (1) | b： z:：c:b+x | | b（b+x）=cz |
| (2) | b： z:：a:v+w | | b（v+w）=az |
| （3） | c： b+x:：a:v+w | | c（v+w）=a（b+x） |
| (4) | b： y：：c：w | | bw=cy |
| （5） | b： y：：a：x | | bx=天 |
| （6） | c： w：：a：x | | cx=aw |
| (7) | b： 视频：：c:a-y | | b（a-y）=cv |
| (8) | b： v：：a：c-z | | b（c-z）=平均值 |
| (9) | c： a-y:：a:c-z | | c（c-z）=a（a-y） |
| (10) | z： y：：b+x：w | | zw=y（b+x） |
| (11) | z： y：：v+w：x | | xz=y（v+w） |
| (12) | b+x:w:：v+w:x | | x（b+x）=w（v+w） |
| (13) | z： v:：b+x:a-y | | z（a-y）=v（b+x） |
| (14) | z： v：：v+w：c-z | | z（c-z）=v（v+w） |
| (15) | b+x:a-y:：v+w:c-z | | （c-z）（b+x）=（a-y）（v+w） |
| (16) | y： v：：w：a-y | | y（a-y）=vw |
| (17) | y： 视频：：x:c-z | | y（c-z）=vx |
| (18) | w： a-y:：x:c-z | | w（c-z）=x（a-y） |
我们现在要找到上述方程的组合，从中可以消除元素x、y、z、v、w，从而使我们得到a、b和c之间的关系。
很明显，从任何一个方程或从任何一组两个方程都无法确定这种关系。
仍有三种可能的组合情况需要考虑：
- 当涉及到x、y、z、v、w三个元素时。
- 四点的时候。
- 五点或全部。
第一种情况。在这种情况下，有C（5，3）= 10可能的组合三个未知元素：v，w，x；v、 w，y；等等。
在详细讨论这一点之前，我们注意到，通过检查比例，很容易看出以下十八组方程均包含从属方程：
1, 2, 3; 4, 5, 6; 7, 8, 9;10, 11, 12; 13, 14, 15; 16, 17, 18; 1, 4, 10; 1、7、13； 2, 5, 11; 2, 8, 14; 3, 6, 12; 3, 9, 15; 4、7、16； 5, 18, 17; 6, 9, 18; 10, 13, 16; 11, 14, 17; 12, 15, 18.
因此，在我们搜索可能的组合时，所有这些组合都必须被拒绝，因为它们包含这些集合中的任何一个。
有三个方程涉及v，w，x:3，6，12。但必须以刚才给出的理由拒绝这种组合。出于同样的原因，或者由于需要包含三个未知元素的足够数量的方程，必须拒绝其他九个组合，但组合x、y、z除外，其中的元素包含在方程1、5、9中。如果我们从这些方程中去掉x，y，z，我们就得到了所需的关系，c²=a²+b²。
顺便指出，包括1、5、9在内的未来组合也必须被拒绝。
第二种情况。在这种情况下C（5，4）= 5可能的组合四种未知元素；此外，异常组合v+w，x，y，z，v+w被视为单个未知。
在继续研究这种情况之前，有必要提请注意四个相关方程组。以集合为例1, 2, 6, 12.从1和2得到3。但3加上6和12给出了一组四个相关方程；因此，必须拒绝集合1、2、6、12。对案例1中给出的十八组进行一点研究，将揭示四十五组四个相关方程。
包含未知元素的方程v、 w、x、y是3、4、5、6、7、12、16。这七个方程中有C（7，4）=35组合，一次取四个。在这三十五套中，有十四套将被拒绝，原因如上所述。其余21套，其中7、5、4、3是一种类型，另外二十种类型可以很容易地简化，在排除未知元素后，给出a、b和c之间所需的关系。
类似地，我们发现四个方程各有二十一组，包括（v、w、x、z）和（v，w，y，z），各17人（v，x，y，z）， （宽，x，y，z），和（v+w，x，y，z），从而为本案提供了全部114份证据。
第三种情况。在这种情况下，有C（18，5）=8568十八组方程式，每次取五个。
要确定必须拒绝的数量，请执行以下操作。从案例1中的从属方程组列表开始。请注意，有C（15，2）=105一组十八个方程，每次取五个方程，每个方程包含一个方程1, 2, 3;包含等式的同一个数4, 5, 6;等等，直到我们1, 4, 10;因为有105组包含方程式1, 4, 10,其中三个已经被计算出来了。因此，继续处理案例1中的所有从属方程组，然后处理该组1, 5, 9,接下来是案例2的集合。因此，我们发现五个中有3746个被拒绝，要么是因为它们包含从属方程的子集，要么是从中获得a、b、c之间所需关系的方程的子集。
必须拒绝另一类：五个相关方程组。例如，10、9、7、6、3，这是所有其他类型的一种，在数字上是72，从中可以很容易地推导出72。
从8568、3746和73中扣除，剩下的4749组是五组，从中可以导出恒等式c²=a²+b²。
因此，1+114+4749=4864，这个方法的证明数。
示例1：
| c（v+w）=a（b+x） | | （3） |
| bw=周期 | | (4) |
| bw=cy | | （6） |
| b（a-y）=cv | | (7) |
| bx=天 | | (5); 也是（6）中的（4） |
| ab-x+c²y/b-a²y/b=ab | | （7、4、5）英寸（3）。 |
| c²/b-a²/b=b | | 等。 |
示例2：
| b（b+x）=cz | | (1) |
| b（v+w）=az | | (2) |
| bw=cy | | (4) |
| bx=天 | | （5） |
| b（a-y）=cv | | (7) |
| cv+cw-ax=ab | | (3); （2）中也有（1） |
| ab-x+c²y/b-a²y/b=ab | | （7、4、5）英寸（3） |
| c²/b-a²/b=b | | 等。 |
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