勾股定理

这种非常规的证明可以用微积分来完成，也可以不用微积分；我觉得它非常迷人。Andrew Stacey的证明基于以下图表

起点是一个矩形，其边为$a、b$，对角线为$c：$

显然，我们打算证明$a^2+b^2=c^2.$通过沿对角线剪切给定的矩形，并在垂直于对角线的方向上移动两半，我们得到了我们在开始时显示的图表：

大矩形由五部分组成：两个组合区域的蓝色三角形$ab；$组合区域$\displaystyle\frac｛ah｝｛c｝\cdot\frac｛bh｝｛c｝=\frac｛abh^2｝｛c^2｝的两个橙色三角形；$区域$ch.$的矩形。外部矩形的边是$\显示样式a+\frac{bh}{c}$和$\显示类型b+\frac{ah}{c{.$通过两种方法计算其面积，我们得到

$\displaystyle\left（a+\frac｛bh｝｛c｝\right）\left（b+\frac｛ah｝｛c｝\right）=ab+ch+\frac｛abh^2｝｛c^2｝$

现在打开括号并取消类似术语：

$\显示样式\压裂{a^2+b^2}{c}=c$

即毕达哥拉斯身份。

注意，也可以调用一些微积分。将区域标识改写为

$\displaystyle\left（a+\frac{bh}{c}\right）\left（b+\frac{ah}{c{right）=ab+ch+O（h^2）$

使用$big-O$术语。这导致

$\显示样式\压裂{a^2+b^2}{c} 小时=ch+O（h^2）$

或$\displaystyle\frac{a^2+b^2}{c}=c+O（h），$where传递到限制$h\到0$将传递相同的毕达哥拉斯标识。