等边三角形勾股定理

以下是摘自2016年4月12日论文Andrés Navas（智利圣地亚哥大学Matemática y Ciencia de la Computación博士）。它为欧几里得V.31不用求助于三角形的相似性。该证明使用等边三角形，即斜边上的三角形与直角三角形腿上的三角形方向不同。这让人想起了校对中方块的用法24,63、和69.

证明基于下图：

等边三角形勾股定理，基本图

通过以下方式获得：旋转给定的$\Delta ABC\；$逆时针通过$60^｛\circ｝\；$在顶点$A，\；$顺时针方向也在$60^{\circ}\；$中在$B.；$调用$C_1，\；$$B_1\；$和$C_2，\；$$A_2\；美元顶点的图像，如上所示。请注意，$BA_2=c=AB_1\；$和$\angle ABA_2=\angle BAB_1=60^{\circ}。\；$因此，$A_2\；$和$B_1\；$重合，并用$D表示这一点顶点$A，\；$$B\；$和$D\；$确定边长为$c的等边三角形$

另外，请注意$BCC_2\；$和$ACC_1\；$是边长为$a\；$的等边三角形和$b，\；$分别是。此外，三角形$BC_2D\；$和$AC_1D\；$都与三角形$BCA一致$

通过等边三角形证明勾股定理

现在，就地区而言，我们有

$\开始{align}ABC_2DC_1&=ABD+BC_2D+AC_1D\\&=ACC_1+BCC_2+BCA+C_2DC_1C。\结束{对齐}$

在图片中：

等边三角形勾股定理的证明，步骤1

这就产生了

等边三角形勾股定理的证明，步骤2

因此，我们需要证明

等边三角形勾股定理的证明，步骤3

为此，请注意$C_2DC_1C\；$是边$a\；$的平行四边形和$b.\；$此外，由于$\angle BCA=90^｛\circ｝，\；$我们有$\角度C_1CC_2\；$必须等于$120^{\circ}，\；$因此$\angle CC_2D=\angle DC_1C=30^{\circ}。\；$因此，$C_1CC_2D\；$的面积等于$ab\sin（30^{\circ}）=\frac{1}{2} ab公司\;$ 这是$\Delta BCA的面积，\；$根据需要。

备注在上面的最后一步中，只需看下面的图片，就可以避免使用三角法。。。

等边三角形勾股定理的证明，步骤4

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