折纸和剪纸Sangaku

以下三个问题来自1743年的书Kanyjia Otogi Zoshi公司作者Nakane Genjun（1701-1761）[福川和罗斯曼第76-77页，第85-87页]。在英语翻译中，数学有趣结果集，听起来几乎像D.Wells的书(好奇有趣的几何企鹅词典,企鹅奇趣数字词典和企鹅奇趣词典). 事实上，它为我们提供了18个日本休闲数学的样本^第个世纪。（福川和罗斯曼的书致力于一种特殊的数学艺术散乐但他们也煞费苦心地强调了日本在江户时期的历史背景，并在这一过程中概述了许多当代数学家的传记和工作，尤其是中根根俊。

你如何用剪刀折叠和/或剪切一张由两个单位正方形组成的长方形纸，以便你可以形成一个单边正方形√2.
你如何用剪刀折叠和/或剪下一张两边成比例的矩形纸1 : 3这样你就可以构建一个单边的正方形√三.
如何切割和折叠由五个单位正方形组成的矩形板，以便在下面显示的每种情况下都可以构建一个边长为正方形的板√5.

（a）

（b）

（c）

解决

工具书类

H.Fukagawa、A.Rothman、，神圣数学：日本寺庙几何学，普林斯顿大学出版社，2008

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第一个问题有两个解决方案，下面的图表非常明显。

第二个问题是三个问题中最不重要的一个问题，它的解决方案如下图所示，其中浅色虚线表示折叠，虚线表示切割。

这张图表需要解释。首先沿长轴LM折叠矩形。然后在LM上将角D折成J。这将生成点K，并将A处的角度分为三个30°的相等角度。实际上，在右边的ΔAJM中，AJ（=AD）是腿AM的两倍长。这使得AJM角为30°，JAM角为60°。而且，由于AK将角JAM平分，所以A处的所有三个角都是相等的。从勾股定理吉咪=√三/2.设H是沿着AJ和短中线EG的褶皱的交点。从三角形AJM和AHE的相似性来看，AH=吉咪=√三.将K折叠到G，并将D的新位置标记为S。在S处垂直折叠以获得F。三角形ADK和EGF相等，因此角度EGF也为30°。除了30°、60°和120°外，没有其他角度。

让我们检查一下长度。来自ΔAKD，DK=√三/3=JK。 FG=2EF=2DK=2√三/3以便前景+JK=√三.我们看到这些碎片确实是一个正方形。

这是彩色碎片的相同分解。

图中显示了五个正方形问题的解决方案，如果有以下情况，则几乎不需要解释：

（a）

（b）

（c）

后者不过是一个勾股定理的证明.

纸张折叠几何

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