问题
一个有趣的优化问题由杜德尼:
取一张正方形的纸，将其折叠成可能最大的等边三角形。
如图所示，边长与正方形边长相同的三角形并不是最大的三角形。当然，除了折痕本身之外，不能进行标记或测量。
工具书类
- H.E.Dudeney，536难题和好奇问题《查尔斯·斯克里布纳之子》（Charles Scribner’s Sons），1967年
解决方案
我们将首先确定内切到正方形中的最大等边三角形的位置，然后演示如何通过折叠正方形来获得这个三角形。前一项任务的论据主要是直觉。
首先，杜德尼认为边与正方形相等的三角形可能是最大的三角形，这是对的。事实上，沿着正方形的边轻轻移动三角形的一个角，同时保持两个角固定，将增加三角形的边，从而增加三角形的面积，并使其第三个顶点保持在正方形内：
类似地，我们可以声称，三角形顶点的上一个应与其中一个正方形的顶点重合。假设情况并非如此：
然后可以滑动三角形，将其顶点之一放置到方形的一个角中：
如前所述，这将允许滑动三角形的其他顶点之一，从而增加其边长和面积：
施工
杜德尼提供了以下程序：
把正方形对折，做折痕$IH.$折叠边$AB$，使点$B$位于$IH，$上，您将获得点$E$和$F$，您可以从中折叠$FEG.$当$B$位于$E上时，$fold$AB$返回$AE，$，您将看到$AK.$行现在您可以折叠三角形$AGK，$是可以获得的最大的等边三角形。
初步
从上面可以清楚地看出，内接到正方形中的最大等边三角形必定有一个顶点位于正方形的一角，另外两个顶点位于与该顶点不相邻的两侧。此外，为了使三角形$AGK$是等边的，我们需要$AG=AK，$表示$\angle BAK=DAG=15^{\circ}$，因为$\angel GAK=60^{\circ}$$
需要证明的是，如果$\angle BAK=DAG=15^｛\circ｝，则$GK=AK$
正如我们所知,
$\displaystyle\sin 15^{\circ}=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}，$$\displaystyle\cos15^{\circ}=\frac{\sqrt{6}+\sqrt}2}}}{4]，$$\displaytyle\tan 15^{\circ}=2-\sqrt{3}$
假设$AB=1，$$\displaystyle AK=\frac{4}{\sqrt{6}+\sqrt}}=\sqrt{6}-\sqrt{2}，$$BK=2-\sqrt{3}，$$CK=CG=\sqrt{3}-1.$因此$GK=\sqrt｛2（\sqrt{3}-1)^{2} }=\sqrt{6}-\sqrt{2}=AK$
证明
还有待证明的是，杜德尼的折叠确实导致了$AGK$是等边的配置。
当$B$折叠到IH中的$E\上时，$$AE=2AI，$使$\angle BAE=60^{\circ}$，因此$\angleBAF=30^{\circ}.$此外，角度$BFA、$$AFG、$$CFG$都是$60^{\circ}.$$\显示样式BF=\tan 30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{3}，\；$$\显示样式CF=1-\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{3-\sqrt}}{3}。\；$$CG=CF\tan 60^{circ}：$
$\显示样式CG=\frac{3-\sqrt{3}}{3}\sqrt}=\sqrt{3}-1=对照$
根据需要。
