点的幂定理

给定一个点$P$和一个圆，通过两条线穿过$P$，这两条线分别与点$a$和$D$以及点$B$和点$C.$中的圆相交，然后$AP\cdot DP=BP\cdot CP$

点$P$可能位于圆的内部或外部。穿过$A$和$D$（或穿过$B$和$C$或两者）的线可能与圆相切，在这种情况下，$A$与$D$合并为一个点。在所有情况下，该定理都成立，称为点定理的幂.

当点$P$位于圆内时，该定理也称为弦相交定理（或相交弦定理)并且有一个优美的诠释.当点$P$在圆的外面时，定理变成割线相交定理（或相交割线定理.)

上述三种情况的证明完全相同。由于三角形ABP和CDP相似，因此以下等式成立：

$\显示样式\压裂{AP}{CP}=\压裂{BP}{DP}$

这相当于定理的陈述：$AP\cdot DP=BP\cdot CP$

产品的共同价值仅取决于$P$和圆圈，称为点$P$相对于（给定）圆的幂注意，当$P$位于圆的外部时，其幂等于P到圆的切线平方的长度。例如，如果$B=C$，则$BP$与圆$AP\cdot DP=BP^{2}相切$

有时使用带符号的段方便之处在于可以区分圆内的点和圆外的点。圆内一点的幂是负的，而圆外一点的幂是正的。这正是人们从代数定义点的力量。

定理是可逆的：假设点$A、$$B、$$C、$和$D$不共线。假设$P$是$AD$和$BC$的交集，这样$AP\cdot DP=BP\cdot CP.$，那么四个点$A、$$B、$$C、$和$D$是合环的。为了看到它，画一个圆圈，例如$a、$$B、$和$C。假设它在$D'.$处与$AP$相交然后，如上所示，$AP\cdot D'P=BP\cdot CP，$D=D'.$（例如，如果$B$和$C$重合，则通过$A$画一个圆，使其与$B处的$PB$相切。）$

点对圆的幂

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