他还证明了直径与周长的比例，并说明了阿基米德为什么使用这两个数字。。。

奥布里
简短的生活《企鹅图书》，2000年，第378页

的性质π及其决定

引言

确定π将几个圆形物体的测量结果制成表格似乎同时服务于两个目的：建立π并接近其值。通过其他方式更好地实现这两个目标。

在相似性的框架下π这是不言而喻的。由于所有圆都是相似的，因此它们的相对（或形状)每个圆的属性都相同。

近似值π也不需要多个对象。π也可以通过使用不同的工具和不同的工艺测量单个圆形物体来近似。

基本原理

我们周围的物体形状和大小。两个形状相同的对象是类似的(#)。此外，如果它们具有相同的大小，则它们是同余的（或者简单地说平等的). 要给这两个经得起仔细审查的概念下一个定义可能很困难。然而，每个人对这两者都有一个直观的想法。“一个孩子会在没有听说过这个词的情况下绘制或建造一个房子的模型类似的模型是为了设计建筑、船舶、飞机和汽车而不断构建的，与它们所描绘的实物非常相似。" [克莱恩，第74页]

在以形式对象之间的关系为主题的几何学中，定义大小和形状的任务可能会更容易处理，但除非对定义适用的对象类型施加限制，否则可能不会如此巴纳赫和塔斯基将球体分解为5组，其中前两组放在一起形成一个相等的球体，其余3组也是如此，这粉碎了任何认为任务可能很容易的希望。）

我们下面讨论的定义有助于实证验证，因此是由我们的直觉培养的。

几何对象的某些特性是严格独立的，仅适用于全等图形。正方形的两个相对顶点之间的距离（其对角线的长度）就是这样一个例子。其他属性适用于给定形状的所有图形。这些被称为形状属性例如，每个正方形的顶角大小为90°。相对距离是另一个重要的例子。在每个正方形中，对角线相对于其边的长度总是.相对距离是一种形状，而不是单个特征。

关于形状和大小的讨论与著名的宇宙常数有什么关系π? 很简单。圆是特定（圆形）形状的几何图形。圆形与正方形相似，但与三角形或平行四边形不同，只是大小不同。只要我们只考虑形状属性，对于所有圆，我们获得的数值必定相同。特别是，对于所有圆，圆的外部长度（圆周）相对于其直径是相同的。现在这个数字总是用π.

存在π作为身份中的一个术语P（P）=πD、，其中P是直径为D的圆的周长，直接来自以下事实所有圆都是相似的[邓纳姆第23页]，即形状相同。的值π可以通过对同一圆形物体的一次测量或重复测量进行估计。这样一个实验的有效性不亚于对十几个不同的圆形物体进行测量和制表。它更有意义，因为除了直接需要估算π，它还传达了这样一个事实，即测量结果与被测量对象一样取决于测量过程。

NCTM原则和标准

在我们阅读的NCTM原则和标准中，

P.172：3-5年级的学生应该遇到这样一种观念，即现实世界中的测量是近似的，部分原因是使用的仪器以及读取这些仪器刻度时的人为错误。。。每对学生会发现略有不同的测量值，即使他们使用相同的测量工具测量同一物体。

常用的近似方法π这需要一个圆形物体的集合来掩盖这样一个事实：π这是不言而喻的。它还可能误导学生将测量仅仅与被测量对象相关，而忽略了他们对工具和测量方式的依赖。由不同的学生团队使用不同的工具反复测量同一物体，强调了测量的本质，这是一种近似现有量的方法。

第241页：学生还应熟练测量角度，并使用比率和比例解决涉及缩放、相似性和派生度量的问题。

对于相似性，有两种相互竞争但同等的定义。一种是基于缩放概念的转换，另一种是根据形状保持的概念。

根据前者，如果可以通过膨胀变换（可能伴有旋转或反射在膨胀情况下，对应点之间的距离都以相同的系数变化。这个定义与缩放的概念有关。膨胀是缩放变换。

根据第二种定义，如果由相应点定义的角度和相对距离相等，则两个图形相似。

第245页：中等年级学生理解相似性很重要，这与他们对比例的更普遍理解以及对应的概念密切相关。学生可以使用测量来探索相似性的含义，然后应用该概念解决问题。相似形状对应角度的测量值相等这一重要观察结果通常是相似工作的起点。测量也有助于确定相似形状的边长、周长和面积以及相似物体的表面积和体积之间的关系。学生需要了解相似形状的成对物体的周长与其相应的边长成正比，但其面积与相应边长的平方成正比。

例如，后者意味着，对于相似的形状，

(1)

P（P）1/P（P）2=a1/一个2,

其中a1和一个2是（特征）边长，而P1和P2是这两个数字的周长。（1） 强调了缩放的概念。相似图形的所有相应线性属性都因相同的因素而变化。关系（1）可以改写为

(2)

P（P）1/一个1=P2/一个2,

也就是说周长与边的比值是shape属性并且对于相同形状的所有相似图形具有相同的值，而不管它们的大小。换句话说，P/a是一个不变量形状的！（2） 体现了保形理念。相似图形的相对（或形状）属性总是相等的。

（1）和（2）的等价性意味着相似性的两个定义——作为缩放和形状保持的结果——是等价的。

如何

首先，调查相似性。研究类似形状最方便的工具是高架投影仪。取任意一张纸，在上面打三个小孔——A、B、C。把纸放在投影仪上，调整焦距。注意获得正交投影。否则，形状将不相似，并且可能出现变形。让这三个点投影到A'、B'和C'上。测量原稿及其投影上的距离。验证一下，比如，AB/AC=A'B'/A'C'。确认角度ABC和A'B'C'相等。例如，验证（AB+BC+AC）/AB=（A'B'+B'C'+A'C'）/A'B'。要有创意，考虑三点以上。

进一步调查可能不需要特殊物体。在任何教室里，都有很多长方形：墙、窗、门、抽屉、海报、桌子、书架、书、笔记本。它们都相似吗？

对于矩形，通过验证长边的比率与短边的比率相同来建立相似性。如果没有两个物理矩形相似，可以从一张纸上剪下几个。给定一个相似矩形上的点，另一个矩形上的对应点是什么？要找到该点，请缩放从给定点到第一个矩形边的距离，并按等于两个矩形对应边的比例缩放它们。类似的实验也可以用高架投影仪进行。

接下来，论证任何两个圆都是相似的。如果有两个点的半径分别为r和r，那么任何一对对应点之间的距离都是r/r。

最后，选择任意圆形物体并估计其周长与半径的比值。这可以通过几种方式实现：

  1. 把一根线绕在物体上，然后测量它的长度。（为了改进(*)测量的准确性，可以将线缠绕在物体上数次。）

  2. 通过在平面上滚动标记有一点的物体，并测量表面上留下的标记之间的距离。（为了改进(*)测量精度，滚动物体直到表面留下几个标记。）

  3. 通过使用卷尺。能够同时测量英寸和厘米是非常有用的。P/D比率不取决于测量单位。（为了改进(*)…等）

最后，经过估算π已经发现，可能在3.14的范围内，必须提到的是实际比率P/D只能用无限小数表示。手边有它的扩展到第10位或第20位是很好的。

附加服务

以下是涉及的四个有趣的问题π、周长、公式P（P）=πD类和测量。第一个是相当有名的。第二个([石匠]，第65页）的解决方案出乎意料地美丽。其他两个都是好奇心。

  1. 想象一下，地球是一个完美的球体，有一条长长的绳子紧紧地绕着赤道。绳子的长度增加了10英尺，绳子魔术般地从地球上升起，在赤道上形成一个完美的圆圈。一只普通的猫能在绳子下漫步而不触碰它吗？(解决方案).

    有趣的是，Brian Eno[这解释了一切（编辑J.Brockman），210-211]指出，除了数学家和裁缝外，大多数人认为这个问题的答案是违反直觉的。

  2. 如果一个骑自行车的人越过一滩水，它的两个轮子会在路上留下几个水迹。显然，每个轮子都会留下周期性的图案。这两种模式是如何联系的？它们重叠吗？它们的相对位置取决于水坑的长度吗？自行车？车轮的周长/半径？(解决方案).

  3. 画一个半圆，在它的直径上画几个（两个或两个以上或无限多个）依次相邻的小半圆。通过构造，小半圆的直径之和等于大半圆的半径。它们的周长，或者说，它们的总弧长呢？(解决方案).

  4. 用等长的线将一个圆形切割成四个面积相等的部分。(解决方案).

备注

如前所述，所有正方形都是相似的，所有等边（但不是更一般的）三角形也是如此。同样，所有正规n-gon都是相似的。在平滑曲线中，所有圆都是相似的，而对数螺线是自相似的。（这意味着所有对数螺线的大小都是一样的！）此外，霍华德·埃夫斯（Howard Eves）在一本放在每个数学老师书架上的书中写道([伊夫斯]，第5页）：

现在圆锥曲线的形状是由其偏心率决定的。也就是说，所有具有相同偏心率的二次曲线都是相似的，只是大小不同而已。由于所有抛物线都有偏心率1，所以所有抛物线彼此相似，只是大小不同。

参考

  1. J.奥布里，简短的生活，企鹅出版社，2000年
  2. W.Dunham，数学世界，John Wiley&Sons，Inc.，1994年
  3. H.伊夫斯，数学记忆，MAA，2001年
  4. M.Kline，数学和物理世界1959年，多佛
  5. J.梅森，数学思维，Addison-Wesley，1985年
  6. I.M.Yaglom，几何变换II，MAA，1968年

π： 应用程序和计算


相关材料
阅读更多。。。

  • 矩形中的角平分线
  • 平行于介质引起的线段三等分
  • 平行四边形和相似三角形
  • 相似三角形的两个三元组
  • 三个相似的三角形
  • 四边形边和对角线上的相似三角形
  • 直角平分线上的点

    • (*)为什么将一根线缠绕在圆形物体上几次可以提高测量的准确性？所有其他因素（如关注度）相同时，测量精度取决于测量装置的校准。例如，如果胶带上的最小细分为1/16“，则可以预期的最佳测量值在实际数量的1/32”范围内。如果精确数量为S，而磁带上的读数为S’，则S=S’+Δ，式中，Δ是测量误差。每个测量读数的Δ大致相同。现在，如果我们把一根线绕着一个圆形物体绕10圈，那么我们期望得到的精确近似值是10P，即圆周长的10倍。获得测量值后，通过将测量值除以10得出近似值P'，或10P=10P’+Δ，因此P=P'+Δ/10。

    （#）感谢辛西娅·拉尼乌斯指出了原始版本中的错误。</>

    |联系人| |首页| |目录| |几何图形|

    版权所有©1996-2018亚历山大·博戈莫尼

    问题1的解决方案。假设P是绳子的原始长度。然后P（P）=πD、，其中D是地球的直径。对于提升的循环，我们有P+10点=πD'，从哪里10 =π（D’-D）。这意味着圆的直径将增加10/π而半径的变化量将是原来的两倍，约为1.59英尺，足以让一只普通猫从下面通过。

    问题2的解决方案。其中一个车轮留下的标记将显示出来，以便两个连续标记上对应点之间的距离正好是车轮的周长。水坑本身可以被认为是第一个标记。因此，一个车轮留下的图案只取决于该车轮的周长。由于任何两个轮子都是如此，即使是连接在同一辆自行车上的轮子，它们留下的标记也会重合，而不仅仅是重叠（当然，前提是轮子的半径相同）

    |联系人| |首页| |目录| |几何图形| |商店|

    版权所有©1996-2018亚历山大·博戈莫尼

    71678663