谐波比率
给定三个共线点A、B和C。执行以下构造:
选择E点与A和B不共线。
将E连接到A、B和C。
在AE上选择点I并将其连接到B。
设G是CE和BI的交点。将直线AG延伸到其与be在F处的交点处。
将FI延伸至其与AB在D处的交叉点。
定理
D不取决于E和I的选择,而只取决于A、B和C。
换句话说,对于给定的A、B和C,上述结构总是指向相同的点D。
这句话有几个证据。最短的使用的概念是交叉比率.
第一,显然,
(ABCD)=E(ABCD。
同样明显的还有以下身份,
(IFHD)=G。
根据定义(ABCD)=CA/CB:DA/DB;由此可见
(ABCD)=1/(BACD)。
结合以上内容,(ABCD)2=1,即(ABCD)=±1。考虑到四个点A、B、C、D的相对位置,(ABCD)必然为负:(ABCD)=-1。后一个标识唯一标识点D。
据说D点谐波共轭显然,如果D是C的调和共轭,那么C是D的调和共轭(谐波)共轭对A、B,反之亦然。
注意H是D相对于I,F的共轭,线CH穿过E。这导致了另一个重要事实(和一个定义)
给定角度E。对于任意点D,画一条割线,割线在点a和点B处形成角度E。点C相对于点a和B共轭于点D的轨迹是一条穿过E的直线极地的D相对于角度E(或两条直线AE、BE或相应的退化二次曲线)的值。D称为极欧盟委员会。
上述定理证实了谐波共轭和极点的纯直边结构。除了AB线本身,还需要6条线才能获得C点。其中,四条线(在小程序中用黑色绘制)构成完全四边形,其中剩余的线(用蓝色绘制)用作对角线。D和D本身的调和共轭位于对角线的交点处。然后,该定理接受以下解释:
完全四边形的调和比
完全四边形的对角线在三个点上相交,每对对角线共轭于一对顶点。例如,C和D是关于a和B的共轭对,而C、H是关于E、G的共轭对;最后H、D是关于I、F的共轭对。
工具书类
- R.Courant和H.Robbins,什么是数学?,牛津大学出版社,1996年
- D.威尔斯,好奇有趣的几何企鹅词典,企鹅出版社,1991年
电杆和电杆
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