圆段中的极值问题
罗斯·洪斯伯格（Ross Honsberger）的两本书中包含了以下简单问题。在数学模型他由C.M.Ingleby和后来的数学宝石III又增加了两个解决方案，一个由I.van Yzeren提出，另一个由Karel A.Post提出。下面给出了三种解决方案。最近，M.哈贾发表了3个简短的三角证明，并指出了下面第一个解决方案中的图与断弦定理。本页上的第四个解决方案利用了哈贾的观察结果。
P是弦AB切断的圆弧上的可变点。
证明了当P位于圆弧AB的中点O时，弦AP和BP的和是最大的这一直观明显的性质。
解决
工具书类
- M.Hajja，Honsberger的另一个碎片,数学。杂志第83卷第4期，2010年10月，279-283
- R.Honsberger，数学模型，MAA，1978年，第16-17页
- R.Honsberger，数学宝石III，MAA，1985年，第22-24页
|联系人|
|首页|
|目录|
|几何图形|
版权所有©1996-2018亚历山大·博戈莫尼
解决方案1
以O为中心，通过a和B画一个圆，将AO延伸到AC，将AP延伸到AQ，圆上有C和Q。
AO=BO=CO，
这意味着
∠AOB=2∠ACB（=2∠OBC）
另一方面，∠APB=∠AOB和∠AQB=∠的ACB。因此，
∠APB=2∠AQB。
但是，作为ΔBPQ的外角，∠APB=∠AQB+∠OBQ，因此∠OBQ=∠AQB，使ΔBPQ等腰：
BP=性能确认。
因此，AQ=AP+PQ和AC=AO+CO。AQ和AC都是外圆中的和弦，AC是直径最长弦:AQ<交流。
解决方案2
设K为圆的中心（带圆弧AOB）。绘制KE、∠AKP和KF的平分线、∠PKB的平分线上，然后相加ELŞ千帕和FMíKP。如果W是AP和KE的交点，则千瓦秒AP和AW=脉宽。
根据对称性，PW=EL。因此，EL=AP/2。同样，FM=BP/2。设N是KP和EF的交点。三角形ELN和FMN是正确的。它们的斜边超过了腿：英语>美国和FM>FN。加总
（AP+BP）/2=EL+FM>EN+FN=EF。
但∠EKF=½∠AKB=∠AKO=∠OKB，使对弦相等：
EF=AO=BO。
最后，（AP+BP）/2>EF=（AO+BO）/2。
解决方案3
设X是AP和BO的交点。
三角形AOX和BPX是等角的，因此相似。当P在O和B之间时，ΔAOX是两者中较大的一个：
AO/BP=AX/BX=OX/PX=k>1。
我们关注差异（AO+BO）-（AP+BP）：
| | （AO+BO）-（AP+BP） | =（AO+OX+BX）-（AX+PX+BP） |
| | | =（AO+OX-AX）-（PX+BP-BX） |
| | | =（kBP+kPX-kBX）-（BP+PX-BX） |
| | | =（k-1）（BP+PX-BX）>0， |
由三角形不等式.
解决方案4
设U是从O到AP的垂直线的脚。由断弦定理 2·AU=AP+BP。在直角三角形AOU中，AO用作斜边，因此，AO≥AU。由此可见
AO+BO=2·AO≥2·AU=AP+BP。
工具书类
- M.Hajja，Honsberger的另一个碎片,数学。杂志第83卷第4期，2010年10月，279-283
- R.Honsberger，数学模型，MAA，1978年，第16-17页
- R.Honsberger，数学宝石，III，MAA，1985年，第22-24页
断弦定理
- 断弦定理：接近阿基米德的证明
- 断弦定理：Gregg Patruno的证明
- 折纸断弦定理
- 断弦定理：Stuart Anderson的证明
- 断弦定理：布广团的证明
- 断弦定理：Mariano Perez de la Cruz的证明
- 《大卫之星》中的毕达哥拉斯
- 《断弦》中的毕达哥拉斯
- 圆段中的极值问题
|联系人|
|首页|
|目录|
|几何图形|
版权所有©1996-2018亚历山大·博戈莫尼
