勾股定理：
一些虚假证据

即使聪明人也会犯错。一些错误正在被公布，从而为子孙后代学习。我将在下面列出一些错误的证据勾股定理我遇到的。有时错误很微妙，涉及循环推理或事实误解。有时，逻辑中会出现明显的错误，这让人想知道如何避免被作者和编辑注意到。

集合的证明X中出现了一个这样的错误作者：B.F.Yanney和J.A.Calderhead(美国数学月刊第3版，编号6/7（1896），169-171。）

假设定理为真。然后$AB^{2}=AC^{2{+BC^{2neneneep，\；$$BC^{2}=CD^{2{+BD^{2neneneep，\；$和$AC^{2}=AD^{2{+CD^{2]。\；$结合我们得到的三个

$AB^{2}=AD^{2neneneep+2CD^{2{+BD^{2]$

但$CD^{2}=AD\cdot BD.\；$因此，

$AB^｛2｝=AD^｛2｝+2AD\cdot BD+BD^｛2｝$

从中

$AB=AD+BD$

这是真的。这个假设是真的。

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同样，假设$1=2。\；$然后，根据对称性，$2=1欧几里德第二个常见概念，我们可以将这两个身份并列添加：$3=3.\；$这是正确的，但并不是假设$1=2\；$甚至少了一点虚假。

正如我们所知，虚伪意味着一切，尤其是真相。

该证明由E.S.Loomis提供(美国数学月刊第8节，第11条（1901年），第233条。）

让$ABC\；$是一个直角三角形，其边与圆$（O）相切。\；$由于$CD=CF，\；$$BE=BF，\；$和$AE=AD=r=\；$圆的半径，很容易看出

$（CB=a）+2r=（AC+AB=b+c）$

如果

(1)

$a+2r=b+c$

则$（1）^{2}=（2）：$

(2)

$a^{2}+4ra+4r^{2{=b^{2neneneep+2bc+c^{2neneneei$

现在如果$4ra+4r^{2}=2bc，\；$然后$a^{2}=b^{2{+c^{2neneneep。$但是$4ra+4r^{2}\；$大于、等于或小于20亿美元$

如果$4ra+4r^{2}\gt或\lt 2bc，\；$然后$a^{2}+4ra+4r^{2neneneep \gt或\ltb^{2{+2bc+c^{2neneneei；\；$即$a+2r\lt\；$或$\gt b+c，\；$这是荒谬的。因此，$4ra+4r^{2}=2bc\；$因此，$a^{2}=b^{2{+c^{2neneneep$

该证明附有编辑注释：

据我们所知，这一证据以前从未给出过。如果它以前没有发布过，可以适当地称为新的证明卢米斯博士问是否有人能用这种方法得出直接的证据——上面的证据是间接的。

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证据是不正确的，更不用说了间接的，并且通常以当今不可接受的风格写作。然而，主要的问题是论证的循环性：证明使用了它要建立的毕达哥拉斯恒等式。

在随后的一期杂志中(美国数学月刊第8节，第12节（1901年），第258节），编辑们承认了这一不幸，并引用了B.F.Yanney教授的话，大意是“卢米斯博士给出的证明中所采用的这种推理将使$4ar=B^{2}+c^{2{；$或$4r^{2neneneep=B^{2]+c^}；$，甚至是$r^{2}=B^}2}+c ^{2。\text{”}$

F.L Sawyer提供了正确且直接的证据。从（1）开始，

(3)

2a美元+2r=a+b+c$

这样，

$4ar+4r^{2}=2r（a+b+c）$

但评估$\Delta ABC\；$的面积以两种不同的方式（请参见证明#42)

$r（a+b+c）/2=bc/2$

因此，

(4)

2美元（a+b+c）=20亿$

通过将（1）代入（4），我们得到

$4ra+4r^{2}=2bc$

由于（2），我们现在得到了所需的$a^{2}=b^{2{+c^{2neneneep$

备注

请注意(3)已知的刘辉并以此为基础进行解剖证明#45道格拉斯·罗杰斯（Douglas Rogers）。在一封私人信件中，道格拉斯还提到，卢米斯在他的汇编中包括了索耶证明作为第八十六个代数证明毕达哥拉斯命题没有提及他之前的错误努力，但声称他在看到《月刊》带着索耶的证据。他还提到了福里。

此证明作为几何证明22出现在Loomis系列卢米斯指的是J.Versluys于1914年发表的一份出版物，其中列出了毕达哥拉斯命题的96个证明。手头的证据如第43页图44所示。

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虽然这个证明看起来像通过解剖和重排得到的许多其他证明，但这个证明并不完整，因为构造没有经过给定三角形的一条腿基本上小于另一条腿的地方：

原始图表没有提供处理更一般情况的线索。（以上图表是通过动态图解.)

这就是所谓的三角证明。有几次建议在毕达哥拉斯页直到哈瓦那大学退休教授Eng.Marìa L.Mean指出，在其他错误的证明中，这是推导的正确位置。就这样。

在直角$\Delta ABC中，$let$a，\；$$b\；$成为它的腿，$c\；$斜边和$\beta\；$与腿部相对的角度$；b美元。然后，通过三角函数的定义

$\显示样式\开始{align}\sin\beta=\frac{b}{c}\\\cos\beta=\frac{a}{c}。\结束{对齐}$

众所周知，$\sin^{2}\beta\；$的总和和$\cos^{2}\beta\；$等于1:

$\sin^{2}\beta+\cos^{2neneneep \beta=1$

这是一个基本的三角恒等式。因此，

$（b/c）^{2}+（a/c）^}=1$

表示$a^{2}+b^{2{=c^{2neneneep$

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标识$\sin^{2}\beta+\cos^{2{\beta=1\；$确实是三角学的基础。然而，它的推导首先是基于勾股定理。因此，上面的三角“证明”可以作为循环推理的一个例子恶性循环正如有时所指的后者。

稍后的备注

结果是$\sin^{2}\beta+\cos^{2neneneep \beta=1\；$承认独立于证据毕达哥拉斯定理，但仅基于正弦和余弦的减法公式。因此，我对上述证明的批评应该持保留态度。尽管如此，它还是可以在辩论中使用。任何推广上述证明的人都不知道如何推导$\sin^{2}\beta+\cos^{2{\beta=1；$如果不诉诸毕达哥拉斯定理，就会犯下严重的逻辑错误。

高等数学专业的学生有时会犯更高阶的错误，他们超越了三角学，冒险进入多维几何领域。在元素为向量的多维空间中通常定义被称为标量积然后是两个向量之间的角度。例如，对于两个向量$\上划线{a}\；$和$\上一行{b}，\；$如果标量积表示为$\overline{a}\cdot\overline{b}，\；$然后是角度$\gamma\；$二者之间通过余弦函数定义，如下所示：

$\displaystyle\cos\gamma=\frac{\overline{a}\cdot\overline{b}}{||\overlinde{a}||||\ overline}||}$

其中$||\上划线{a}||\；$是向量$\上划线{a}:\；$的范数$||\overline{a}|^{2}=\上划线{a}\cdot\上划线}\；$对于$\overline{b}，情况也类似$

对于$\gamma=90^{\circ}，\；$根据标量积的性质

$||\上划线{a}-\下划线{b}||^{2}=||\下划线}|||^}2}+||\上划线{b{|^{2]$

在二维情况下，很容易看出它表达了常见的毕达哥拉斯定理。

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这种推导的问题是向量空间的理论完全是代数的（如果你愿意的话，也可以是解析的）。向量被定义为实数的n元组，其后是向量运算的组件定义。在此框架内向量勾股恒等式以上确实是公理和定义的简单推论。然而，公共几何和向量空间几何之间的关系是模型和一个抽象的理论。上述向量恒等式并不能证明勾股定理。这只表明模型与理论之间有着紧密的联系。它证实了这种关系，也许为毕达哥拉斯定理提供了额外的见解，但并没有用任何方法证明它。

A类约翰·莫洛卡赫的证明在标题下勾股定理的微积分证明已在网上发布。我在一个单独的页面.

这是已发表的证据(国际科学与技术数学教育杂志，34:1，144-150）由于Medhat H.Rahim(用罗盘和无标记直尺对毕达哥拉斯定理的新证明)。

在简要介绍了毕达哥拉斯定理之后，作者通过两个已知的证明进行了说明，并简要回顾了E.Loomis的书，然后继续进行证明。

给定两个方块$I\；$和$II，\；$作者提供了一个两步的方形结构$III$这样$[III]=[I]+[II]，\；$其中$[F]\；$表示形状$F的面积施工总结如下图所示。

作者演示了如何构造矩形$（I'）\；$给定边，满足$[I']=[I].\；$选择的一侧是$II\；$然后将其放置在矩形$I'附近。\；$第二步，作者构造了方形$III$这样$[III]=[I']+[II].\；$然后他得出结论：$[III]=[I]+[II]，\；$根据需要。

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本文的结构是正确的，但与毕达哥拉斯定理的证明无关。

这个证据来自一封邮件，一条由图表引起的短信：

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我反对条带数$\displaystyle\frac{b}{C-a}\；$通常是分数，作者回答道：

别管有几个带小数部分的条子了，根据世界银行的数据，瑞士每个妇女的总出生数是1.5个婴儿，这又如何呢！！如果我们被允许0.5个婴儿，我们应该可以有0.5或任何其他小数或分数。

作者在备注之前详细计算了$a=1231，\；$$b=617，\；美元$C=1376.971314152913，\；美元特别是，$\displaystyle\frac{b}{C-a}=4.226857883554151\text{strips（非整数）}\；$并最终显示$C^2=a^2+b^2 \；$对此，我回答说，根据毕达哥拉斯定理，他的计算是有效的，反之亦然。

这一证据也来自一封邮件，后来提交人承认他在发送邮件后发现了一个错误，并建议他希望其他人能从他的错误中吸取教训。这是rpoof

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很明显，这个圆的方程，比如说，$x^2+y^2=c^2假设勾股定理有效。