E.W.Dijkstra关于勾股定理的证明

的本质迪克斯特拉的方法对于旧定理来说，与其说是一个优雅的证明，不如说是一种新颖的公式。Dijkstra的配方为余弦定律但更奇怪的是，它侧重于三角形所有角的比较性质，而不是习惯上只考虑一个角，这对于毕达哥拉斯定理或余弦定律或其他任何东西都是正确的概括.

如果在aΔABC中，角度α、β、γ与长度a、b、c的两侧相对，则

符号（α+β-γ）=符号（a²+b²-c²），

其中符号（t）是符号功能。

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如果applet不运行怎么办？

Dijkstra构建了两条额外的线路CL和CN

BCN公司=

CAB和

ACL（ACL）=

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这使得三角形ABC、ACL和BCN相似，角度ALC和BNC相等。在顶点C处，我们现在可以找到并比较ΔABC的所有三个角α、β、γ。Dijkstra的原始图表仅处理以下情况α + β - γ < 0这意味着三角形ACL和BCN没有完全覆盖ΔABC，这意味着不等式

面积（ACL）+面积（BCN）<面积（ABC）。

鉴于α + β + γ = 180°,α + β - γ = 0需要γ=90°，并且α + β = 90°因此，在这种情况下，CL和CN重合，图变成证明#6.因此α + β - γ = 0暗示面积（ACL）+面积（BCN）=面积（ABC）。

最后，当α+β-γ>0时，两个三角形ACL和BCN重叠。甚至只需其中一个就可以完全覆盖ΔABC。无论如何，如果α+β-γ>0，则

区域（ACL）+区域（BCN）>区域（ABC）。

所以在所有情况下，

sign（α+β-γ）=sign（面积（ACL）+面积（BCN）-面积（ABC））。

要完成证明，只需观察相似三角形的面积与其相应元素的平方成相同的比例。特别是，拾取与γ角相反的边

面积（ACL）/a²=面积（BCN）/b²=区域（ABC）/c²，

或

面积（ACL）=ka²，
面积（BCN）=kb²，
面积（ABC）=kc²

对于一些积极的k，这直接导致了Dijkstra的说法：

符号（α+β-γ）=符号（a²+b²-c²）。

虽然Dijkstra的证明可能直观明了，但并不是每个人都觉得它足够简单。我收到了达拉斯大学数学博士、高级软件工程师、副教授曾国平先生的以下信息：

Dijkstra对毕达哥拉斯定理的推广的几何证明过于复杂。此外，考虑到许多情况，该案例的数字不容易绘制：β = γ, α = β = γ, α>γ，等。

事实上，下面用余弦定律进行的代数证明要简单得多，也更准确。

代数证明（G.Zeng）：由于α+β+γ=π，我们有α + β - γ = π - 2γ.取两边的符号函数，我们有

(1)	符号（α+β-γ）=符号（π-2γ）=标记（π/2-γ）。

根据余弦定律，c²=a²+b²-2ab cosγ。重新安排条款会产生

(2)	a²+b²-c²=2ab cosγ。

取两边的符号函数，我们有

（3）	符号（a²+b²-c²）=符号（2ab cosγ）=符号。

由于cosγ是正的，当γ < π/2, γ = π/2,和γ > π/2,我们分别有

(4)	符号（cosγ）=符号（π/2-γ）。

将（4）替换为（3）的结果

（5）	符号（a²+b²-c²）=符号（2ab cosγ）=符号。

比较（5）和（1）产量

（6）	符号（a²+b²-c²）=符号（α+β-γ）。

Q.E.D.公司。

正如数学中经常做的那样，参见[D.Ruelle，数学家的大脑]数学家依靠独特的概念来帮助他们思考和人际交流，这些概念包含并隐藏了基于第一性原理的结构的复杂性。数学家很少直接从一些基本公理推导出他们的结果。相反，他们使用已经证明的定理和合适的定义。例如余弦函数体现了相似性的思想，其特征是形状属性三角形，符号转换取决于角度γ的大小欧几里得II.12和二、 13个. The余弦定律同样，也承认不依赖于勾股定理因此，曾博士的证明不包括任何循环，并且构成了Dijkstra身份的有效推导。

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