余弦定律（独立于勾股定理）

余弦定律（也称为余弦规则或余弦定律）可以被证明是勾股定理这是一个概括。欧几里德证明了他的变体余弦定律在两个命题中：谁证明了迟钝情况为二、 12个钝角和二、 13个对于急性病。他使用了勾股定理在这两种情况下。为此，我表示有兴趣证明余弦定律是否独立于后者。

我的询问被拒绝了，因为这两个定理——毕达哥拉斯定理和余弦定律——要么都成立（在欧几里德几何中），要么都不成立（在球面或双曲线几何中）。然而，约翰·莫洛卡赫（John Molokach）提出了余弦定律的证明（见下文），该证明似乎并不依赖于毕达哥拉斯定理。这怎么解释？

这里没有悖论。这两种说法——勾股定理和余弦定律——实际上是等价的。在任何给定的几何体中，它们要么都为真，要么都为假。然而，两者都可能（相当独立）来自另一个——也许但不一定是更基本的——命题。

对于边为$a$、$b$和$c$且角度为$\gamma$与边为$c$相对的三角形

$c^{2}=a^{2{+b^{2neneneep-2ab\cdot\cos\gamma$

在任何边为$a、$$b、$$c$和对角为$\alpha、$$\beta、$$\ gamma、$的三角形中，我们有三个恒等式：

$\开始{align}a&=b\cdot\cos\gamma+c\cdot\ cos\beta\\b&=c\cdot\cos\alpha+a\cdot\ cos\gamma\\c&=a\cdot\cos\beta+b\cdot\ cos\alpha。\结束{对齐}$

这些恒等式是通过绘制高度（一次一个），并在获得的两个直角三角形中应用余弦的定义来获得的。对于每一方，欧几里德都会考虑两种情况，就像他在第II.12和II.13节中所做的那样。通过将余弦函数从锐角的原始定义扩展，我们可以将锐角和钝角合并为一个恒等式。

让我们将第一个等式乘以$a，第二个等式除以$b，$，第三个等式再乘以$c，$，然后从第三个中减去前两个：

$c^{2}-a^{2{-b^{2neneneep=-2ab\cdot\cos\gamma$

这就是余弦定律。

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