卡诺定理

卡诺的定理是毕达哥拉斯定理这是一个很好的小定理，不太可能用动态几何软件重新发现。对…的爱好涂鸦想象一下，这就是重新发现这样一个定理所需要的全部。

让点$A'、$$B'、$和$C'$分别位于$\Delta ABC的$BC、$$AC、$和$AB$两侧在点$A'、$$B'、$和$C'\；$处与三角形各边的垂线是并发iff

(1)

$AC“^{2}-BC”^{2{+BA“^{2]-CA”^{2%+CB“^{2%-AB”^{2]=0$

证明

假设三条垂线在$P.$点相交。直线$AP、$$BP、$$CP、$$A'P、$$B'P和$$C'P$将三角形分割为六个直角三角形，其中三对三角形共享一个斜边，而其他三对三角形共用一条腿，顶点位于$P.$。这种情况要求应用勾股定理:

$\开始{align}AC'^{2}+C'P^{2{&=AP^{2neneneep\\BC'^{2}+C'P^{2{&=BP^{2neneneep\\BA'^{2}+A'P^{2{&=BP^{2neneneep\\CA'^{2}+A'P^{2{&=CP^{2neneneep\\CB'^{2}+B'P^{2{&=CP^{2neneneep\\AB'^{2}+B'P^{2{&=AP^{2neneneep。\结束{对齐}$

取符号为$“+”、$的第一、第三和第五个方程，以及符号为$”-“、$的第二、第四和第六个方程，经过明显的简化后，将所有六个方程相加得出（1）。

为了证明相反，假设（1）并让$P$成为$A'P\；$的交点和$B'P放置垂直的$DP\；$来自$P\；$到$AB.\；$通过已经证明的部分：

$AD^{2}-BD^{2{+BA'^{2neneneep-CA'^{2%+CB'^{2]-AB^{2neneneei=0$

以便

(2)

$AD^{2}-BD^{2{=AC'^{2neneneep-BC'^{2]$

只有当$D=C'.\；$为什么？设$BD=x，$$AB=c.$然后$AD=c-x，$和

$AD^{2}-BD^{2{=（c-x）^{2neneneep-x^{2｝=c^{2neneneei-2cx$

它是x:$f（x）=c^{2}-2cx的线性函数因此f是1-1换句话说，对于两个不同的$x\text{'s}，$f（x）$不能具有相同的值。\；$这意味着（2）确实意味着$D=C'$

我们自然会遇到一个相关的问题：给定两点$a\；$和$B.；$点$M\；$的轨迹是什么使得$AM^｛2｝-BM^｛2｝\；$是常量吗？

假设$M$是轨迹上的一个点，$H$$M\；$的垂线脚到$AB.\；$根据勾股定理：

$AM^{2}-AH^{2{=MH^{2neneneep=BM^{2｝-BH^{2]$

即。，

$AM^{2}-BM^{2neneneep=AH^{2{-BH^{2}$

这意味着，如果$M$位于所讨论的轨迹上，$H.$也位于该轨迹上，反之亦然。由于相同的$H$用作$H处与$AB$垂直的直线$M$的所有点的垂直$MH$的底部，因此$这条直线解决了这个问题。

如果我们用$x\text{-axis}\；$将笛卡尔坐标系的原点放在$B$沿$AB$和$y\text{-轴}\；$垂直于它，我们可以将坐标$（x，y）$指定给点$M然后

$\开始{align}BM^{2}&=x^{2{+y^{2neneneep，\；\文本{where}\\AM^{2}&=（c-x）^{2{+y^{2neneneep。\结束{对齐}$

因此，如上所述，

$AM^{2}-BM^{2{=（c-x）^{2neneneep+y^{2｝-x^{2neneneei-y^{2]=f（x）$

其中$f（x）$是上面定义的函数。如果$x$是固定的，那么$f（x）、$以及$AM^{2}-BM^{2{、$也是固定的。从这一事实或基本证据来看，很明显，为了（1）保持，点$A'、$B'、$C'$不一定位于$\Delta ABC的两侧$

推论

  1. 三角形边的垂直平分线与一点（圆心）一致

    事实上，$AC’=BC’，$$BA’=CA’，$和$CB’=AB’$暗示（1）。

  2. 三角形的高度在一点上一致。

    事实上，如果$AA'、$$BB'、$和$CC'$是$\Delta ABC的高度然后

    $AB ^｛2｝-BA'^｛2｝=AA'^｛2｝=AC ^｛2｝-CA'^｛2｝$

    以便

    $AB^{2}-AC^{2{=BA'^{2neneneep-CA'^{2]$

    同样，

    $\开始{align}AC^{2}-BC^{2{&=AC'^{2neneneep-BC'^{2]和\\BC^{2}-AB^{2{&=CB'^{2neneneep-AB'^{2]，\结束{对齐}$

    当加入时，得到（1）。

  3. 与$\Delta ABC\；$两侧的垂线在内圆与两侧相交的点处（在内圆处）是平行的

    显而易见。

  4. 与$\Delta ABC\；$两侧的垂线在外圆与边相交的点上，它们是平行的。

    确实如此[F.G.-M.公司。第555页]，在这种情况下我们有

    $CA’=AC’，$$BA’=AB’，$和$BC’=CB’$

    这意味着（1）。

  5. 正交极的存在

    Delta ABC平面上的每一条直线m对应一个点-矫形孔共$M\；$关于$\Delta ABC。\；$要定义点，首先放置垂直线$AL、$$BM、$和$CN\；$从$\Delta ABC\；$的顶点到$m.\；$从由此获得的三个点，在三角形的“相对”边上垂直下落：从$L\；$到$BC，\；$从$M\；$到$AC，\；$从$N\；$到$AB.\；$后三条线是并行的，它们的交汇点称为矫形孔$m$，代表$\Delta ABC$

    达里杰·格林伯格根据卡诺定理（1）对这个结果提出了巧妙的证明。我们已经知道，点$A'、$$B'、$$C'\；$无需位于$\Delta ABC的侧面。\；$那么让我们取$A'=L，$$B'=M，$和$C'=N多次应用勾股定理，我们得到

    $AM^{2}-LM^{2{=AL^{2neneneep=AN^{2]-LN^{2neneneei$

    以便

    $AM ^｛2｝-AN ^｛2｝=LM ^｛2｝-LN ^｛2｝$

    同样，

    $\开始{align}BN^{2}-BL^{2{&=MN^{2neneneep-LM^{2]，\；\文本{和}\\CL^{2}-CM^{2{&=LN^{2neneneep-MN^{2]，\结束{对齐}$

    当添加时，产生

    $AM^{2}-AN^{2{+BN^{2neneneep-BL^{2]+CL^{2neneneei-CM=0$

  6. 一般化

    卡诺定理承认一般化到$n\text{-gon}，$with$n\ge3，$，并使并发行均匀地向两侧倾斜。

工具书类

  1. F.G.-M.公司。，Géométrie演习雅克·加贝（Editions Jacques Gabay），1991年

|联系人| |首页| |目录| |几何图形|

版权所有©1996-2018亚历山大·博戈莫尼

71883161