拿破仑定理

在给定（任意）三角形的每一侧描述一个给定三角形外部的等边三角形，并将由此获得的三个等边三角形的中心连接起来。显示生成的三角形也是等边的。

结果三角形的形状并不依赖于原始三角形的形状，这确实很令人惊讶。然而，它似乎取决于构造的三角形的形状：只要后者是等边的，它就是等边的。这里有一个机会一般化:

在任意三角形外部的边上，根据以下两个条件构造（直接）类似三角形：

这三个三角形的顶角都不同。
顶点三角形的方向与三个三角形的方向相同。

连接三个三角形的质心。由此得到的三角形与构造的三个相似。

实际上，甚至没有必要连接这些中心。任何三个对应的点连接时，定义一个与构造的三角形相似的三角形[威尔斯第178-181页]。到目前为止，三角形可以在与原始三角形相同的边上构造，这可能不那么令人惊讶。

最初的问题传统上归因于拿破仑·波拿巴，他是一位业余数学家。它的两个证明被好心地寄给我布罗迪博士。问题与费马的问题：找到一个到给定三角形顶点的总距离最小的点，以及一系列构造问题。例如，给定在给定三角形外部的边上构造的等边三角形的三个质心，重建原始三角形。此外，可以考虑n点并尝试重建多边形。等边三角形的中心与两个基点构成等腰三角形。实际上，我们可以从给定多边形边上的任意等腰三角形开始。给定三角形的顶角，重建原始多边形。我们已经讨论了施工问题所有这些角都等于180°，因此三角形退化为直线。

有一个第三次证明基于复数运算，尽管如此，仍保留了几何背景。另一个应用程序复数的证明是我所知道的最短的证明。一第五次校对是由外接圆的一个简单而普遍的性质导出的。

参考

H.S.M.Coxeter，几何学导论约翰·威利父子公司，纽约，1961年
G.波利亚，数学发现约翰·威利父子公司，1981年。
D.威尔斯，你是数学家，约翰·威利父子公司，1997年