拿破仑定理的两个简单证明

在三角形的每一侧，竖立一个等边三角形，位于原始三角形的外部。然后，连接三个等边三角形质心的线段本身形成一个等边三角。

作者：Scott Brodie博士，医学博士，博士。
纽约西奈山医学院

证明#1（“锤子和钳子”三角学）

在以下内容中，我们使用标准符号: 在ΔABC中，A表示顶点A和对应∠A，A表示BC及其长度。此外，让G表示质心AB侧的等边三角形，I表示质心AC边上的等边三角形的长度，等等。让s表示段GI，t段AG的长度，u段AI的长度。(Geometer的SketchPad插图。)

由于∠IAC=∠GAB=30°，我们可以应用余弦定律来计算

秒²=u²+t吨²-2ut·cos（A+60°）。

(1)

由于三角形的质心位于每个中间带从顶点到对边中点的距离，我们有

t=（2/3）·sqrt（3）/2·c=c/sqrt
u=（2/3）·sqrt（3）/2·b=b/sqrt，

并且（1）成为

3·s²=b²+c（c）²-2bc·cos（A+60°）。

(2)

扩大^(*)和的余弦，并回忆一下cos（60°）=1/2；sin（60°）=sqrt（3）/2，我们有

cos（A+60°）=cos（A）/2-sin（A）·sqrt（3）/2。

(3)

将（3）替换为（2）的结果

3·s²=b²+c（c）²-bc·cos（A）+sqrt（3）·bc·sin（A）。

(4)

现在将余弦定律应用于ΔABC：

一²=b²+c（c）²-2bc·cos（A）。

(5)

和回忆（如正弦定律的推导）：

2·面积（ΔABC）=bc·sin（A）。

(6)

将（5）和（6）替换为（4）给出

3·s²=（1/2）（a）²+b条²+c（c）²)+2·sqrt（3）·面积（ΔABC）。

(7)

由于（7）在a、b和c中对称，因此连接三个质心的三角形是等边的，QED。

(*)

迈克尔·兰布鲁（Michael Lambrou）在获得（2）后提出了一种不同的方法。

将余弦定律应用于三角形ABE和BCE，以两种不同的方式表示边BE：

b²+c（c）²-2bc·cos（A+60°）=A²+b条²-2ab·cos（C+60°）

通过（2），左手边等于GI的3倍。同样，右手边等于IH的3倍，式中GI=IH。考虑三角形ACD和ABD，我们还得到IH＝HG，这提供了证据。

作为奖励，我们得到AD=BE=CF。

证明#2（对称化的论点）

符号与之前相同：让ABC原始三角形。选择D、E和F外部ΔABC，使ADB、BEC和AFC等边三角形，分别具有质心G、H和I。(Geometer的SketchPad插图。)我们继续证明∠HIG=60°。

将I固定为旋转中心，并旋转整个图形120°，并将旋转的副本叠加在原件上图。在旋转下，ΔCAF映射到自身（C映射到A，A映射到F，F映射到C，而我映射到自身。）表示分别通过BB、DD、EE、GG和HH点B、D、E、G和H的图像。

将D连接到EE，将G连接到HH。由刚性ΔGHI=ΔGG。HH（小时）。一、。尤其是GH=GG.HH。(Geometer的SketchPad插图。)

现在考虑在点A上收敛的六个三角形其中（ABD、ACF和A.EE.BB）是等边的。重新收集三角形的角度求和为180°，而点周围的角度求和为360°。自∠BB起。答：F是∠BCA的副本，因此∠D。A.EE=∠ABC。最后，ΔD。A.EE=ΔABC，五角大楼A.BB.EE.D.B与五角大楼一致因为。因此，G.HH=GH，因此G.HH=GH=GG.HH。

再次重复旋转120°，并连接等边三角形的尖端如上所述，我们得到了右侧的图形。(Geometer的SketchPad插图。)如上所述，很明显，中心六边形等边的，在中心相交的六个三角形旋转是一致的。因此，6·∠HIG=360°，∠HIG=60°。由于（在G、H、I点中）选择质心I是任意的，我们已经证明ΔGHI是等角，因此是等边的QED。

拿破仑定理

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