晶格中的形状

问题

想象一下矩形网格(晶格用数学术语来说），节点之间的距离等于1。此外，让给定的形状的面积小于1，但其他方面是任意的。表明可以将此形状放置在平面上，使网格节点不会落入形状中。

想象一下矩形网格(晶格用数学术语来说），节点之间的距离等于1。此外，让给定的形状的面积小于1，但其他方面是任意的。显示可以将此形状放置到平面上，这样就不会有网格节点落在该形状内。

解决方案

有两种方法可以解决这个问题。由于问题实际上是公式化的，一个问题从一个格子开始，并适应一个给定的形状，试图避开节点。第二种方法是将形状放置在平面上，然后围绕它绘制网格，这样就不会有节点落入形状中。我们也可以将两者结合起来：将形状放置在给定的晶格上，然后，如果必要，稍微移动晶格以避免相交。

我将继续后面的课程。在网格顶部放置形状后，沿网格将平面切成正方形线。（我们已经在切碎圆环体.）将方块堆叠在一起（不要旋转它们）。使平面透明，使形状不透明。现在从堆栈顶部往下看。您将看到一个带有由几个给定形状的碎片落入不同正方形的交集。这个十字路口的面积明显小于1。因此，污点不能覆盖整个正方形。一定有一点不属于污点。用一条垂直线穿过此点，穿透整个堆栈。现在拆下堆叠并将方块放回其在平面上的原始位置。每个方块将包含一个点（垂直线的轨迹），其中任何一个都不属于形状。这些点的集合形成了第1面的新网格。这可能被视为旧网格的新位置。将其滑动到那里。

尤其是逻辑和数学逻辑，可能是完美的，但会导致错误的结果。如果一开始就有错误的前提，这可能会发生。我并不是说我们得到的是错误的。然而，整个公式依赖于平面形状及其面积的直观概念。我只是想提醒你注意一个事实，即我们的直觉可能不足以作为数学推导的基础。

让我们问自己几个问题吧？

形状是一组吗？是的，很可能。只要一切都可以声明为集合。

一套什么？这是一组点，一组点。

每个点都是一个形状吗？

这是一个棘手的问题，也是我们进退两难的根源。让晶格与坐标系原点位于其中一个节点。考虑一组所有点（x，y）具有有理坐标。这套有形状吗？有只有一个可数的数字这样的配对。有时（在理论上广义函数)很容易把积极的归因于测量到一个点。度量是一个严格的数学概念，它将几何对象的直观数字属性形式化，如长度,地区、和体积（我已经提到了豪斯道夫测量当谈到分形维数然而，谈论领域时，用积极的领域表示观点是完全违反直觉的。所以我们应该假设地区作为衡量标准，它在每一点都消失了。

现在，一个度量可能会有一些加性属性。例如，我们希望两个不相交的部分是组成部分面积的总和。在测量理论，我们正在寻找无限（但仅限于可数无穷）和（也称为级数）因此可数点集的面积也是0。请注意，我们无法申请对不可数集合的同样推理。如果我们这样做了，那么所有集合的面积都将为零。不太有趣。

如果你继续对上面一组具有有理坐标的点应用叠加程序，那么印迹实际上会覆盖整个正方形。当然，我们知道这只是一种表象。集合是可数的，而正方形是不可数的。因此，我们确信存在一个可以穿透堆栈的点。

如果我们在一个至少有一个无理坐标的正方形内取一组点（x，y）会怎么样。通过加法性质，我们知道（或至少期望）这样一个集合的面积是1。仍然有漏洞。

作为第三个示例，让我们考虑一个由两部分组成的集合。在一个正方形中具有有理坐标的点集加上在另一正方形中至少具有一个无理坐标的点集。在这种情况下，堆栈将没有孔。

我们可以确定，不可能从第二部分中删除子集，并稍微增加第一部分，这样在最后我们会得到一组面积小于1的奇怪区域，两个（移位的）半的并集覆盖整个正方形吗？这个问题的答案是一个坚定的“不”——不，仅仅用两个部分是不可能做到的。但如果我们允许无限多的小零件，谁会担保呢？

好吧，你也不应该担心这个。如果小于1的一组度量值分布在若干个（可能是无限的）正方形上，那么将它们叠放在一起将在单个正方形内创建一组小于1的度量值，这样就无法覆盖度量值为1的整个正方形。然而，上面的思考可能会让您了解为什么至少需要为如此简单和平凡的概念为形状和地区.

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