R.Honsberger先生,
数学宝石，III,
MAA，1985年，第24-26页

一个古老的日本定理

在罗杰·约翰逊（Roger Johnson）奇妙的旧几何文本中-高级欧几里德几何，于1929年首次出版-他报道（第193页多佛版本，1960)关于日本数学家将他们的发现刻在寺庙中悬挂的石碑上以荣耀众神和作者的古老习俗。以下宝石在1800年以这种方式展出。

让一个凸面的 多边形，它刻在一个圆圈里，是三角化通过从一个顶点绘制所有对角线，并在每个三角形中绘制内接圆。然后，所有这些圆的半径之和是一个常数，它与构成三角剖分的顶点无关（图1）。

对于相同的总和，可能会要求更多每一个对多边形进行三角测量的方法！（图2）。我们将看到，一个美丽定理的简单应用L.N.M.卡诺（1753-1823）解决了整个事件。

首先，观察n-gon与其对角线的任何三角剖分都包括（n-2）三角形。接下来假设三角剖分中的三角形已编号，三角形i的内半径为r我; 此外，在卡诺定理作为OO我然后，观察三角剖分中的每个三角形都以给定的圆作为其外接圆,卡诺在那里状态

第页我+R=OO（零）我

所讨论的金额由下式给出

(*)第页1+第页2+ ... + 第页n-2个=OO（零）1+OO（OO）2+ ... + 面向对象n-2个-（n-2）右

现在请注意，总和OO1+OO（OO）2+ ... + 面向对象n-2个右边是多边形各边的垂线，每个垂线计数一次，对角线的垂线计数两次，因为每条对角线都是两个相邻三角形的边。此外，考虑到这样的内部垂线，每个垂线取一次正号，另一次取负号，因此对总和没有贡献。因此，这个和实际上等于从O到多边形边的所有垂线的和。因此，（*）中的右侧是常数。左边也是。

备注1

有另一个定理也被称为日本人.

备注2

迪金森学院的大卫·里奇森已扩展（2011）非凸多边形定理。

工具书类

  1. R.Honsberger，数学宝石III，MAA，1985年
  2. R.A.约翰逊，高级欧几里得几何（现代几何）1960年，多佛

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