福特的动人圆圈

对于那些不具备特定（算术）或通用（代数）数字适当符号的古人，计算是在几何框架中进行的。两个数字的乘积由两个数字给出边的矩形面积表示。代数和算术最终从16世纪开始，随着代数符号的系统引入，从几何中分离出来。十七世纪，勒内·笛卡尔（1596-1650）发明了解析几何，并声称任何几何问题都可以用代数方法解决。（这在原则上是正确的，因为几何问题的简化通常会导致代数方程我们只知道近似解。）数学还是走自己的路，现在代数和几何被认为是完全独立的科学。但这两者之间的联系不时会出现，其中许多联系的简单性出乎意料。[康威和盖伊第153页]将以下示例。

 

考虑一条直线作为平面中的x轴。对于任何有理数（以及x轴上的一个点）p/q，画一个直径为1/q的圆2在点p/q的正上方。这些圆圈有些接触，有些不接触。如果与分数a/b和c/d相对应的两个圆相接触，则与中位数分数（a+c）/（b+d）与两者相切。

 

该证明基于以下事实：与a/b和c/d相对应的两个圆接触若（iff）ad和bc是连续整数。上图有助于证明后一个事实。然而，一个完整的证据需要调查几个可能存在以下关系的案例涉及的四个整数。在右边，图表是根据以下假设绘制的：b<d和a/b<c/d。

形成直角三角形ABC。然后，通过构造，2·AB=1/b2-1天2, 2·BC=1/b2+1个/天2,和AC=c/d-a/b。从勾股定理因此bc-ad=1，根据需要。

这个论点是可逆的。如果AC和AB定义如上所述，则线BC的长度（连接线两个圆的中心）将等于其半径之和。这直接意味着圆彼此相切。

因为bc-ad=1意味着两者（b+d）c-（a+c）d=1和（a+c）b-（b+d）a=1这个中位数如果圆与另两个相切，则它们会接触。因此，我们可以在连续定义的点上继续添加接触圆法利级数.

参考

  1. J.H.康威和R.K.盖伊，《数字之书》纽约州斯普林格·弗拉格，1996年。

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