平分弧

M.克拉姆金讲述以下故事：

下一个问题是波利亚的一个非常好的问题[2，p.186]；我成功地抓住了D.J.纽曼和其他数学家。平分弧是将给定区域的面积平分的弧。首先，我问一个圆的最短平分弧是什么。通常，快速的回答是它是一个直径。其次，我问一个正方形的最短平分弧是什么。同样，一个常见的快速回答是，这是一个穿过中心的高度。最后，我问一个等边三角形的最短平分弧是什么。这时，纽曼已经怀疑我是在陷害他（我是），几乎要说出角平分线。但他犹豫了一下，说让我考虑一个与底平行的弦，因为这个弦比角平分线短，所以他给出了这个答案。不幸的是，正确的回答是不同的。

工具书类

M.S.Klamkin，问题解决中的数学创造力，英寸在伊夫斯的圈子里J.M.Anthony（编辑），MAA，1994年
G.波利亚，数学与猜想，v 1，普林斯顿大学出版社，1954年，第272页

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答案

一个60°的圆弧。

证明是通过等边三角形在其边上反射5次，直到形成正六边形。（最短的平分线一定要从一边开始，在另一边结束，尽管它可能并不完全明显。在包含平分线点的那些边上反映出三角形。）平分线曲线的六个副本可能由对角线的碎片辅助，形成一条闭合曲线，其面积已知为六边形面积的一半。我们正在寻找一个周长最短的六边形形状。

根据等周定理，在具有给定面积的所有形状中，圆的周长最短。在一个单一的等边三角形中，圆切割出一个60°的弧，解决了原来的问题。

提到G.Polya的一句话很有启发性[数学与猜想第1卷，第272页]，大意是任何区域的最短平分线都是直线或圆弧。如果区域有对称中心（正方形、圆形和椭圆都有，但等边三角形没有），则最短的平分线是一条直线。（我感谢Anany Levitin教授提请我注意这句话。）

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