为平面中的点指定数字

以下是2001年USAMO的问题6：

平面上的每个点都分配了一个实数，这样，对于任何三角形，内接圆中心的数字都等于其顶点处三个数字的算术平均值。证明平面中的所有点都被指定了相同的编号。

解决方案

解决方案由印第安纳州南区圣约瑟夫HS的迈克尔·汉堡（Michael Hamburg）提出，他因此获得了奖项克莱奥林匹克学者奖来自克莱数学研究所。法官观察到，260名参与者中只有9人正确解决了问题。他们称赞迈克尔的聪明才智和优雅，并指出简单的图表实际上相当于无文字证明.

2001年USAMO，问题6

设A和B是两个任意点。形成一个正六边形ABCDEF，让G是CD和EF的交点。注意，点A、F、E是点B、C、D在穿过G的直线上的反射，平行于AE和BD。因此，三角形ACE和BDF共享内圆，因此也共享内圆。三角形CEG和DFG也是如此。用相应的小写字母表示分配给点的数字，我们有两个等式：

一+c（c）+e（电子）=b条+d日+（f）和
d日+（f）+克=c（c）+e（电子）+克.

将两者相加并简化产量一=b条; 我们已经完成了。

如果我们将问题的表述中的“内切”替换为“外切”，则该语句成立，这里是一个

解决方案

我们首先证明，对于任何圆，分配给其点的数字都是相同的。

因此，选择圆圈C（O），以圆心O为中心。

第页+q个+x= 3o个.

固定、C（O）、P和Q，并让X在C（0）上改变。显然，x= 3o个- (第页+q个)不依赖于X在C（O）上的特定位置。固定X（X）和问，然后还X（X）和P（P），我们看到了第页和q个取相同的公共值，这证明了数字在任何圆上的赋值都是常数。

任意两点位于多个圆上；但只要一个就够了。因为在任何一个圆上，数字的赋值都是常数，所以分配给给定两点的数字是相等的。

备注

可以观察到，分配的数字是真实的这一事实在解决方案中没有起到任何作用。在取任意三个数字的平均值的操作下，任何一组数字都是闭合的。特别是，问题中的数字可以是有理数、虚数、无穷小、超实数，甚至超现实数或四元数。当然，也可以使用向量和矩阵。要使用整数，我们需要将“平均值”替换为“总和”。如果0被排除在外，则“产品”可以以相同程度的成功使用。

工具书类

C.Alsina、R.B.Nelsen、，魅力证明，MAA，2010年，第47-48页

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