布拉马古塔-马哈维拉身份

在边为$a、$$b、$$c、$$d、$的循环四边形$ABCD$中，对角线可以通过

托勒密定理

$\开始{align}\显示样式m^{2}&=\分形{（ab+cd）（ac+bd）}{ad+bc}\\n^{2}&=frac{（ac+bd）（ad+bc）}{ab+cd}。\结束{对齐}$

大多数消息来源将这一结果归因于伟大的9^第个世纪印度数学家马哈维拉（或Mahaviracharya，意思是老师Mahavira）。然而，根据阿斯基引用亨利·托马斯·科尔布鲁克这些公式已经为另一位伟大的印度数学家布拉马古普塔所知^第个世纪。

我们已经确定了这些身份在别处有两种方式。这个证明的精华这是由于另一位印度数学家帕拉梅斯瓦拉在15人中工作^第个世纪。这真的很漂亮

托勒密公式在循环四边形中告诉我们

$n\cdot m=b\cdot d+a\cdot c$

让我们互换两边$a$和$d：$

托勒密定理

该操作将使四边形循环和对角线$m$保持不变。如果另一条对角线是$u，托勒密公式给出，

$mu=a\cdot b+c\cdot d$

类似地，$a$和$b$的交换产生一个带对角线$u$和$n；$的循环四边形我们的身份是：

$un=a\cdot d+b\cdot c$

我们得到$m^{2}$将前两个等式相乘，再除以第三个等式：

$\显示样式m^{2}=\frac{（nm）（mu）}{un}=\frac{（b\cdot d+a\cdot c）（a\cdotb+c\cdot d）}{a\cdoted+b\cdotc}$

对于$n^{2}，我们有$，

$\显示样式n^{2}=\frac{（nm）（un）}{mu}=\frac{（b\cdot d+a\cdot c）（a\cdotd+b\cdotc）}{a\cdoteb+c\cdot d}$

对于比率$\displaystyle\frac{m}{n}$托勒密第二定理

$\displaystyle\frac{m}{n}=\frac{a\cdotb+c\cdotd}{a\CDotd+b\cdotc}$

R.Askey，完成布拉马古塔对托勒密定理的推广，K.Alladi等人（编辑），阿拉迪·拉马克里希南在数学科学中的遗产Springer Science+Business Media，LLC 2010年
H.T.科尔布鲁克，代数：从婆罗门笈多和巴斯卡拉的桑德斯克里特（Sandskrit of Brahmagupta and Bhascara）学来的算术和测量，1817年，重印，Kessinger，Whitefish，MT，美国，
J.L.Heilbron，几何文明，牛津大学出版社，牛津，2000年，第219页。

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