麦克道格尔对托勒密定理的推广

回忆一下，在布拉马古塔-马哈维拉身份，我们获得了托勒密第二定理:

$\displaystyle\frac{m}{n}=\frac{a\cdotb+c\cdotd}{a\CDotd+b\cdotc}$

其中$a、b、c、d、m、n$代表侧面和对角线长度，如下所示：

托勒密定理

比率可以改写为

(1)

$\显示样式\frac{1}{nbc}+\frac{1}}{nad}=\frac{1'{mcd}+\frac{1{mbc}$

在美国数学月刊（2004年3月），张伯兰和齐尔伯格报告了简·麦克杜格尔2012年的一个结果，推广了后一个恒等式，并提供了一个简短的证明。为了便于推广，我们将考虑点$\{P_k\}，\space k=1,2，…，的偶数，。。。，2n$在一个圆上。设$d_{k，m}$是$P_k$和$P_m之间的距离

$\显示样式R_{k}=\prod_{m\ne-k}^{2n}天_{k，m}$

在这些符号中，（1）显示为

(1')

$\显示样式\frac{1}{R_1}+\压裂{1}}{R_3}=\压裂{1'{R_2}+\裂缝{1}{R_4}$

或

(1'')

$\显示样式\sum_{k=1}^{4}（-1）^{k}\frac{1}{R_k}=0$

这两种形式都需要概括：

设$n$为正整数，$P_k，$，对于$1\le k\le 2n，$为圆上的循环有序点。使用上面定义的$R_{k}$，

$\显示样式\sum_{k=1}^{2n}（-1）^{k}\frac{1}{R_k}=0$

或

$\displaystyle\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{R_{2k}}=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{R{2k-1}}$

证明的关键是拉格朗日插值公式:

如果$P（z）$是次数不超过$N-1的多项式，则$

$显示样式P（z）=\sum_{k=1}^{N}\frac{（zz_{1}）\cdots_{k} -z（-z）_{1} ）\cdot（z_{k} -z（-z）_{k-1}）（z_{k} -z（-z）_{k+1}）\cdot（z_{k} -z（-z）_{N} ）}P（z_k）$

$N$不同点$z_k$

在不损失一般性的情况下，假设圆以原点为中心，半径为1。将这些点表示为$P_{k}=\cos2t_{k}+i\sin 2t_{k{，$其中$0\le t_{1}\lt t_{2}\lt\ldots\lt\pi.$基本三角可以用来表示$d_{k，m}=2\sin（t_{m} -吨_{k} ）。$设置$u_{k}=e^{it_{k{}}$

$\显示样式d_{k，m}=-i\frac{u{k}^{2} -u个_{m} ^{2}}{u_{k} u个_{m} }、$

$k\lt m.$这导致

$\显示样式i^{2n-1}（-1）^{k-1}\frac{1}{R{k}}=\bigg（\prod_{m=1}^{2n}u_{m} \bigg）\frac{u{k}^{2n-2}}{\displaystyle\prod\m\nek}（u{k{^{2} -u个_{m} ^{2}）}$

现在需要证明的东西减少到

(2)

$\显示样式i^{2n-1}\sum_{k=1}^{2n}（-1）^{k-1}\frac{1}{R{k}}=\bigg（\prod_{m=1}^{2n}u_{m} \bigg）\sum_{k=1}^{2n}\frac{u_{k}^{2-2}}{\displaystyle\prod\m\nek}（u{k}^{2} -u个_{m} ^{2}）}$

因此，证明这个定理相当于证明（2）右边的和等于零。

我们现在将拉格朗日插值应用于$P（z）=z^{r}.$在公式中，如果$r \lt N-1$乘以$z^{N-1}$的系数自然为零：

$\displaystyle0=\sum_｛k=1｝^｛N｝\frac｛z_｛k｝^｛r｝｝｝｛（z_{k} -z（-z）_{1} ）\cdot（z_{k} -z（-z）_{k-1}）（z_{k} -z（-z）_{k+1}）\cdot（z_{k} -z（-z）_{N} ）}$

取$N=2N，$$r=N-1，$和$z{k}=u{k}^{2}，$$k=1,2，\ldots，2N$将后一个方程转换为

$\显示样式0=\sum_{k=1}^{2n}\frac{u_{k}^{2-2}}{\显示样式\prod_{m\nek}（u{k}^{2} -u个_{m} ^{2}）}$

从而证明了这个定理。

Chamberland和Zeilberger在他们的文章末尾指出，通过让圆的半径增长到无穷大，可以获得直线结果的有效性，还有一个额外的好处，即它对奇数个点来说是偶数。格里戈伊尔·尼科利尔注意到，不需要限制程序。拉格朗日插值公式适用于任何一组点，尤其是位于同一条线上的所有点。查看$x^n的系数，$当然是$0，$可以证明任意点数$n\gt 1的语句$

工具书类

马克·张伯兰（Marc Chamberland）和多伦·齐尔伯格（Doron Zeilberger），麦克杜格尔圆定理的一个简短证明,美国数学月刊2014年3月，263-265

托勒密定理

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