相交弦定理

这个相交弦定理断言以下非常有用的事实：

给定圆内部的一个点P，穿过P的两条线，这两条线分别在点a和点D以及点B和点C与圆相交。然后AP·DP=BP·CP。

证明很容易从三角形ABP和CDP的相似性得出，这是它们角度相等的结果：

(垂直角度由相同的相交线形成，但相反的光线——线的一半——被它们的交点切断。）

根据三角形ABP和CDP的相似性，我们得出比例：

（*）	AP/CP=BP/DP=AB/CD。

第一个恒等式（AP/CP=BP/DP）直接导致了弦相交定理：AP·DP=BP·CP。

由于证明仅使用前两个比率的相等性，敏锐的观察者可能会询问第三个比率（AB/CD）是否有用。以下问题（由于N.Vasil'ev）出现在俄罗斯量子（M261991年3月-4月30日），并通过R.Honsberger先生在他的世界各地的数学栗子.

小船1和小船2以恒定速度行驶，但不一定相同，它们分别在同一时间从环形湖岸上的码头A和码头C出发。如果它们分别直达码头D和码头B，就会发生碰撞。证明如果船1直接驶向船坞B，船2直接驶向码头D，则它们会同时到达目的地。

证明在（*）之后加入了第三个比率！

首先，让v₁和v₂是船的速度。如果第一个从A到D，第二个从C到B，它们会碰撞，这意味着它们同时到达P点，即。，

应付账款/v₁=CP/v₂.

后者立即转化为

AP/CP=v₁/v（v）₂.

考虑到（*），这意味着

AB/CD=v₁/v（v）₂,

或

AB/v公司₁=CD/v₂,

也就是说，如果船1驶向B，船2驶向D，它们将同时到达那里。

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