消失平面中的函数

这是来自的问题A1第70届威廉·洛厄尔·普特南年度数学竞赛(2010).

设f是平面上的实值函数，对于平面上的每个正方形ABCD，f（A）+f（B）+f。它遵循了吗f（P）=0对于平面上的所有点P？

是的，确实如此。设P是平面上的一个点，ABCD任意以P为中心的正方形。正方形各边的中点X、Y、Z、W构成另一个以P为相同中心的正方体。此外，将该正方形的相对点连接起来，可以将ABCD分为四个较小的正方形，例如AXPW、BYPX、CZPY、DWPZ、，我们可以将函数f的给定性质应用于其中的哪一个：

(*)	f（A）+f（X）+f， f（B）+f（Y）+f， f（C）+f（Z）+f， f（D）+f（W）+f。

现在注意到，由于ABCD和XYZW是正方形，

f（A）+f（B）+f
f（X）+f（Y）+f（Z）+f（W）＝0。

因此，将（*）中的四个恒等式相加得出4f（P）=0，这意味着f（P）=0。由于P是平面上的任意点，f等于0。

这个问题的条件太强了。只需选择一对轴并要求标识即可f（A）+f（B）+f用于任何平行四边形（或正方形）的边与轴平行的角。如果仅限于常规网格的网格点，该问题也有意义。对于网格上的问题，ABCD必须是一个网格正方形（或平行四边形），中心也是一个网格点。

我认为，如果考虑三角形的顶点，就会出现一个更有趣的问题：

设f是平面上的实值函数，对于平面上的每个等边三角形ABC，f（A）+f（B）+f（C）=0。它遵循了吗f（P）=0对于平面上的所有点P？

设f是平面上的实值函数，对于平面上的每个等边三角形ABC，f（A）+f（B）+f（C）=0。它遵循了吗f（P）=0对于平面上的所有点P？

答案还是肯定的。设P是平面上的任意点，ABCDEF是中心为P的正六边形。所有三角形ABP、BCP、CDP、DEP、EFP、FAP都是正则的。我们有六个等式：

f（A）+f（B）+f（P）=0，
f（B）+f（C）+f（P）=0，
f（C）+f（D）+f（P）=0，
f（D）+f（E）+f（P）=0，
f（E）+f（f）+f（P）=0，
f（f）+f（A）+f（P）=0。

总结所有给予

2（f（A）+f（C）+f。

但三角形ADE和BDF也是等边的，这意味着

f（A）+f（C）+f，

因此6f（P）=0。

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