四边形中的极值问题

以下内容问题由Leo Giugiuc发布在切割结数学脸书页面；利奥从Olimpiada pe Scoala（校园奥运会）facebook群组。捷克斯洛伐克社会主义共和国提交的问题似乎已列入第一个海事组织的短名单（1959年）。这个下面的解决方案由克劳迪娅·纳努蒂、戴安娜·特雷莱斯库、丹·西塔鲁和利奥·朱古奇创作。

四边形中的极值问题

解决方案

请注意

$64=ma\sin\angle BAC+mc\sin\langle ACD\le ma+mc=m（a+c）=m（16-m）$

但是，根据AM-GM不等式，$\displaystyle m（16-m）\le\left（\frac{m+（16m-m）}{2}\right）^2=64.$因此，$m（16m-）=64，$表示唯一值，$m=8.$作为副作用，$\sin\angle BAC=\sin\angle ACD=1，$使得两个角度都等于$90^{\circ}，$使$ABCD$成为梯形：$AB\parallel CD$

设$E$是对角线的交点。然后三角形$ABE$和$CED$是相似的，$c=8-a，$$CE=8-AE$和$\displaystyle\frac{a}{8-a}=\frac{AE}{8-AE}，$使得$AE=a，$for，函数$\disposystyle f（x）=\frac{x}{8-x}$在$（0,8）上是1-1。$因此，我们有$BE=a\sqrt{2}$和类比的$DE=c\sqrt}$最后，$n=8\sqrt{2}$-唯一的值tat满足约束。

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