工匠vs数学家

数学家的工作就是解决问题（并将问题及其解决方案传达给其他数学家。）新问题可能是由数学的内部进步提出的，也可能是由其他学科的实践者从外部提出的。解决方案的好坏取决于他们对促进其发展的问题的回答。这只是适用于任何有目的的努力的常见逻辑。假设解决方案是为了解决他们要解决的问题。自然，一个问题可能有许多解决方案，其性质不仅与问题本身有关，还与问题解决者的品味和技能有关。令人着迷和启发的例子出现在10个^第个世纪论文论工匠需要的几何部分由著名的波斯数学家阿布尔·瓦法·布兹贾尼（以下所有报价均来自数学地平线文章作者R.Sarhangi和S.Jablan.)

布兹贾尼写道，他参加了工匠和数学家之间的会议：

在一些会议上，数学家对几何学的某些原理和实践进行了指导。另外，他们研究二维和三维装饰图案的几何构造，或就几何在建筑构造中的应用提出建议。

在标题为关于正方形的划分和组合布兹贾尼描述了工匠和数学家对几何的不同态度：

许多几何学家和工匠在这些正方形及其组装方面犯了错误。几何学家犯错误是因为他们没有应用构造的实践，工匠犯错误是因为他们缺乏推理和证明的知识。

还有更多

我出席了一个会议，许多几何学家和工匠参加了会议。他们被问及如何从三个（相等的）正方形中构造一个正方形。几何测量仪很容易画出一条线，使得它的平方等于三个平方，但没有一个工匠感到满意。他们想把这些正方形分成几块，从中可以组装出一个正方形。

工匠们似乎把这个问题视为解剖问题，而数学家们的解释则完全不同。数学家认为问题是要构造一个面积是给定正方形面积三倍的正方形（沿着立方体的复制.)

所以从数学家的角度来看，基于勾股定理:

从等腰直角三角形带斜边√2用菌丝依次形成直角三角形√三,√4等等。

工匠们对这种方法并不满意。在他们看来，问题是实际性质的：给定三个相等的正方形瓷砖，如何将它们切成碎片，以便重新组合成更大的正方形？提出了许多解决方案，一些是正确的，另一些不是，尽管乍看之下它们看起来还不错。后一种解决方案如下图所示：

Buzjani对此发表了评论：

一些工匠将其中一个方块放在中间，然后在对角线上划分下一个方块，并将第三个方块划分为一个等腰直角三角形和两个全等梯形，然后按照图中所示组装在一起。

对于一个不熟悉几何学的外行来说，这个解决方案似乎是正确的。然而，可以证明情况并非如此。确实，生成的形状有四个直角。同样，较大形状的每一侧似乎是一个单位加上单位正方形对角线的一半。然而，这种结构不会产生正方形，因为单位正方形的对角线（即组合的大三角形的斜边）是无理数，但该斜边位于较大形状的线段的度量是一个半单位，这是一个有理数。

在如此猛烈地抨击工匠的方法之后，布兹贾尼提出了一个工匠可以接受的解决方案，同时在数学上是正确的：

但基于推理的方块划分，我们沿着对角线划分两个方块。我们将这四个三角形中的每一个都定位在第三个正方形的一侧，这样三角形锐角的一个顶点就位于正方形的顶点上。然后通过线段连接四个三角形直角的顶点。使用这些线段从每个较大的三角形中切割出一个较小的三角形。我们把每个三角形放在它旁边的全等空白空间中，以完成正方形。

下图说明了Buzjani的解决方案（另请参见[弗雷德里克森，第32页]）：

显然，这种特殊的结构可以解释为将两个正方形切成的块重新组合成一个正方形，其中一个的面积是另一个的两倍。该结构立即扩展到将两个任意正方形合并为一个正方形。

很难想象布兹贾尼没有观察到这样的扩展，特别是因为他对组合任意维的两个正方形的问题感兴趣。施工像这样的已于一千年后出版数学杂志由Poo-sung Park创作，并纳入无词证明II收藏。布兹贾尼自己提出了另一种方法，需要更少的切割和碎片。一路上，他也证明了勾股定理:

布兹贾尼的“理性/非理性”论点很优雅，但却偏袒“纯数学”结构√三。如果你真的尝试遵循工匠的建议，结果会是

事实上，所谓广场的一侧应该是，x=1+√2/2,所以它的对角线是x√2= 1 +√2≈ 2.4142...而沿着组合形状的对角线放在一起的片延伸到2.5的长度。误差约为3.4%，非常明显。

另一方面，工匠可能只关心实际的（阅读近似)解决方案。五千年后，A.杜勒他本人是一位著名的业余数学家，在一篇供工匠使用的论文中，给出了两种正五边形的构造，但没有提到其中一种是近似的（角度误差约为1%）

…待续。。。

工具书类

G.N.弗雷德里克森，解剖：平面与幻想，剑桥大学出版社，1997年
R.B.内尔森，无词证明II，MAA，2000年
R.Sarhangi、S.Jablan、，波斯马赛克的基本构造,数学地平线2006年9月10日至13日

马尼菲斯托

|向上| |联系人| |首页| |目录| |几何图形|

71885349