外角定理——一种评价

斯科特·布罗迪
2000年8月14日

外角定理(欧几里得I.16)“在任何三角形中，如果产生一条边，则外角大于内角和对角”，是初等几何的基石之一。在许多当代高中课本中，外角定理是著名结果的推论（相当于平行姿势)三角形的三个角和为两个直角（因为相邻的内角和外角是互补的，所以两个远处内角的和等于外角，因此必须大于任何一个角）。

相反，在欧几里德的命题序列中，出现了外角定理之前对并行Postulate的任何调用。[欧几里德的节俭意识值得高度赞扬，他通过尽可能长时间地推迟使用平行假设，帮助区分那些独立于平行假设有效的几何部分（所谓的“绝对”或“中性”几何，以及那些依赖于平行假设的几何部分。因此，欧几里德（Euclid）几乎是在他自己的时代结束后的两千年里，预言了“非核素几何”的发展。]因此，外角定理及其许多结果的适用范围比人们从“高中”课程中所设想的更广。

通过列出一些直接从中导出的重要定理，可以看出外角定理的重要性：

在任何三角形中，任意两个角的和都小于两个直角(欧几里得一.17)

这是导致勒让德的引理：三角形的三个角之和小于或等于两个直角。
人们也可以用这个命题来简化欧几里德对平行假设：没有必要说明这两行被横向“相交于角度较小的一侧而不是两个直角。“如果他们在另一边相遇，他们就会形成角和超过两个直角的三角形。

任何三角形都不能包含两个直角（或等效的垂直通过任何外部点到给定直线都是唯一的）。

“SAA”-三角形是全等的，其中有两对角和不在两者之间的一方分别是一致的。

从SAA中可以看出三角形是全等的，其中斜边和一条腿在一个三角形中分别与另一个相同。

直线不能在三个不同的点上与圆相交。

欧几里得中的所有几何不等式都是从外角导出的定理：

在任何三角形中，大边相对的角度都较大。(欧几里得一.18)（相反，欧几里得一.19)

在任何三角形中，任意两条边的和都大于剩下的一个。(欧几里得1.20)

如果两个三角形的两条边分别等于两条边，但具有相等直线所包含的角度之一比另一个大，那么它们的底也比底大。(欧几里得I.24)（相反，欧几里得I.25)

如果一条直线落在两条直线上，则形成交替的角度彼此相等，则直线与一条平行另一个。（“AIP”，欧几里得一.27)

因此，令人痛心的是欧几里得的证明外角定理有很大的缺陷！它可以很好地描述为“从图中推理”的一个油嘴滑舌的例子

为了找出可能出现的问题，让我们回顾一下欧几里德的参数，然后看看如果我们尝试将其应用于绘制的三角形会发生什么在球体的表面上。

欧几里德表明角ACD大于角A。他首先将其平分E处的AC段

这在球体表面上非常有效。

他从B到E到F画出射线，所以BE=EF，并连接F至C。

这在球体表面上非常有效。

他现在认为三角形AEB和CEF是一致的（SAS），因为AE=欧共体， BE=EF，角AEB和CEF相等，因为它们是垂直角。

这在球体表面上非常有效。球体上的垂直角度相等。SAS保持在球体上的时间我们同意限制“三角形”的概念只包括线段长度小于球体周长的一半。

欧几里德接着简单地说：“但是ECD的角度大于角度ECF，因此角度ACD大于角度BAE”“整体大于部分”。显然，他意思是说，由于点F位于角ECD的内部，角度ECF小于角度ECD。

这就是证据表面上会遇到麻烦的地方球体。事实上，F位于角的内部ECD相当于假设我们试图证明的是什么。上球面上，点F可能位于直线CD上，甚至在它的上方！（适用于例如，考虑三个直角的球面三角形。

对于这个三角形，AB、BC和CA都等于周长的1/4球体的长度。BE也是并且在E处垂直于AC，因此EF也是圆周的1/4BF是球体周长的1/2，位于在线CD上。这可能有助于在Globe上可视化：在十字路口走a路本初子午线与赤道（南大西洋靠近的一点加纳），B为北极，C为赤道点东经90度，位于苏门答腊岛附近的印度洋。然后是E将位于赤道东经45度，靠近近海索马里和南极的F将位于CD线上，而不是角ACD内部。）

事实上，在球面上，外角定理及其大多数结果彻底崩溃。球面三角形的外角三个直角本身就是直角；这个三角形包含三个，更不用说两个，直角；它的角和超过了两个直角。同样，AIP在球体上也失败了：沿着赤道行走左转，然后沿着本初子午线到达北极，然后右转，沿子午线以90度向南走东经，将带你回到赤道。

显然，欧几里德的论点证明“太多了”。为了澄清飞机上的情况，我们需要更仔细地观察平面几何公理如何排除我们所看到的行为球体。

也许最简单的论点是[希尔伯特，定理I.22]：

将BA扩展到D，以便AD=CB。将C连接到D。假设角度CAD和ACB是相等的。然后我们将有三角形CAD与三角形一致ACB（由SAS提供）；特别是角度ACD将与角度CAB一致。但是，由于角度DAC、CAB是辅助的，因此角度也会是辅助的ACD和ACB是互补的，点D、C、B将共线。

在平面上，这是一个矛盾：穿过点D的线和B是唯一的，而线路DAB和DCB必须按顺序区分ABC是一个三角形。另一方面，在球体上，许多不同的线条（大圆）共用这两条线(反足的)点和配置不需要矛盾。

因此，在平面上，我们得出CAD和ACB的角度不相等的结论。如果角度DAC小于角度ACB，则可以构造a段CE，位于角ACB内部，E位于a和B之间，例如那个角度DAC=角度ACE。

然后，如前所述，我们将D、C、E共线，从而产生两个不同的连接D和E的线，在平面上又是一个矛盾。

只有角度DAC大于角度的可能性ACB、QED（在飞机上）。

（也可以通过仔细使用“平面分离”公理来挽救欧几里德的证明，例如“在平面中，不在直线上的点集是两个不相交集的并集，这样（1）每个集都是凸的，（2）如果P在其中一个集中，Q在另一个集中，那么PQ段与直线相交，参见[莫伊斯，定理4.7]。虽然类似的分离公理在球面上是有效的，但欧几里德证明的修改在球面上失败了。阿瑟：我很感激罗伯特·富特教授瓦巴什学院（Wabash College）指出了这句话最初措辞中的歧义。)

工具书类

D.W.Hendersen，体验几何，Prentice-Hall，2004年
D.希尔伯特，几何学基础, 2^第伊利诺伊州拉萨尔，公开法庭，1971年版
E.E.莫伊斯，从高级的角度看初等几何, 3^第个Ed.雷丁，马萨诸塞州，艾迪生-韦斯利1990年。

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