在某些情况下，索引等于内容

这被称为索引引理，是动力学系统和代数拓扑理论的一个基本结果。引理处理平面多边形的三角剖分。A类三角测量多边形D是将D划分为有限数量的三角形，使得D边界上的每条边只属于细分的一个三角形，并且D内部的每条边正好由细分的两个三角形共享。

考虑一个具有任意数量顶点的简单多边形（没有自交）。以任何方式将其三角化，并使用三个标签A、B和C标记三角剖分的顶点。三角剖分中的三角形称为完成iff它的三个顶点都有不同的标签。称为完整的ΔABC是很自然的。还有三角形AAB、CCC等。每个三角剖分都有两个量。

定义

  1. 这个内容C是计算的完整三角形数按方向这意味着，如果三角形的标签沿三角形的逆时针方向读取ABC，则三角形计数为+1；如果标签沿三角形顺时针读取ABC，那么三角形计数为-1。这符合数学中的一个普遍惯例，即逆时针方向被认为是正的，而顺时针方向被视为负的。
  2. 这个索引I定义为按方向计数的多边形边界周围标记为AB的边数，这意味着如果边在多边形周围逆时针读取AB，则边数为+1，如果边在该多边形周围顺时针读取AB.，则边数为-1。

（在示例图中，两个索引我和内容C类等于-1。）

指数引理

索引等于内容。

证明

为了证明，让我们S公司是多边形上和内部标记为AB的边的数量，按以下方式计算：每个三角形被视为与所有其他三角形分开，其边AB按方向计算为+1或-1。证明通过以下方式完成C=S=I.为了证明第一个等式，考虑一个ABC类型的完整三角形。它只有一条正向的边，因此有助于+1S公司。同时作为一个完整的三角形，它将+1作为C类。作为第二个示例，考虑ABA类型的三角形。它有两条边AB，一条是正向的，另一条是负向的，因此共有0条边S公司。它也为C类，因为它不完整。通过测量所有可能的三角形类型，可以验证每个三角形在S公司如中所示C类; 因此C=S.

另一方面，考虑一条标记为AB的单独边。如果这条边位于多边形内部，则它是两个三角形中的一条边，其中一个三角形的边数为正，而另一个三角形为负。这些边对S公司。但是多边形边界上的边在S公司，然后就像他们是为了索引我.因此S=I.

现在，让我们先用指数引理来证明斯伯纳引理，然后再证明布劳沃不动点定理。在下文中，我们将只考虑三角形的三角剖分，而不考虑任意多边形的三角剖分。因此，考虑一个三角形D，并将其三角化为更小的三角形。如前所述，用字母A、B和C标记三角剖分的顶点。我们对一种特殊的标记感兴趣。

定义

A类Sperner标签三角形三角剖分的标记满足以下条件：

  1. 原始三角形的顶点用三个不同的字母A、B和C标记。
  2. 位于AB侧的三角剖分顶点被标记为A或B。BC和AC侧的顶点也有类似的条件。
  3. 对原始三角形内三角剖分顶点的标记没有限制。

斯珀纳引理

每个Sperner的标签至少包含一个完整的三角形。

备注

为了更好地理解这一证明，或者甚至提出一个不同的证明，在不断向三角剖分中添加节点时，深入了解标记的动态可能会很有用。在下面的小程序中，通过单击原始三角形的内部（或侧面）来添加节点。根据选中的单选按钮标记新节点。稍后可以通过重复单击现有节点来更改标签。

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如果applet不运行怎么办？

Sperner引理的证明

我们将实际证明完整三角形的数量是奇数。从指数引理可以看出我斯伯纳三角测量法很奇怪。考虑到这一点，我们应该只考虑原始三角形的边AB。让我们称之为片段完成如果两端的标签不同，即A和B。让B代表数字原始三角形AB侧的完整线段。让a表示AA段的数量，让c表示内部（到AB侧）a顶点的数量。因此，例如，原始三角形AB侧的A顶点总数为抄送+1由于每个AA段包含两个A顶点，而每个AB仅包含一个，并且每个内部A顶点由细分的两个段共享，因此我们有2a+b=2c+1。因此b是奇数。

这是我从詹姆斯·坦顿那里学到的另一个证据。

从球体的三角剖分开始。用三个字母A、B、C中的一个字母标记所有顶点，然后有偶数个ABC三角形。为了证明，假设至少有一个ABC三角形。将门放在AB边上，从ABC三角形开始形成一条穿过门的路径。三角形的数量是有限的，这意味着路径必须在某个地方终止，即在其中一个三角形中。最后一个显然只有一条AB边的三角形必须标记为ABC。这不可能是最初的ABC三角区，因为返回那里的唯一方法是通过你已经走过的门。然而，两次跨入三角形是不可能的。如果可能的话，第一个三角形就会存在两次。这个三角形必须有三条AB边。

布劳沃不动点定理

设f是三角形自身的连续变换。那么存在一个点P，这样P=f（P）。

备注

这种P被称为固定点因此，定理声称三角形到自身的任何连续变换都有一个不动点。设D是三角形，ga连续的 1-1将D转换为G。然后，对于Q∈G我们可以定义g（f（g-1（Q） ）∈G。这给了我们G向自身的连续转换。如果P是f的不动点且Q=克（P）然后

g（f（g-1（Q） ）=g（f（g-1（g（P）））=g（f（P），

也就是说Q是这样定义的变换的不动点。这意味着，虽然我只对三角形建立了Brouwer定理，但它适用于更广泛的一类平面集。松散地说，这些是有界的关闭没有设置洞.

我们需要以下内容

定义

三角测量T的最长边称为其直径d（T）。

证明

因此，设D是三角形，f:D→D是D到自身的连续变换。对于每个P∈D形式v（P）=f（P）-P，一矢量从P到f（P）。

为了简单起见，位置D使得其底部是水平的，并且第三个顶点位于底部上方。接下来我们将考虑一系列三角剖分Tn个D与D（Tn个)随着n的生长而减少到0。在每一个这样的三角测量中，我们都会联想到斯伯纳的标签。三角剖分的顶点P接收标签A，如果v（P）指向东北方向或东方向，如果v（P）朝向西北方向或平原西方向，则接收标签B；对于严格向北的方向，随机选择a或B。所有其他P都标有C。（为什么这是Sperner的标签？）当然，如果v（P）=0我们的标签有问题。但是，如果我们遇到点P，其中v（P）=0从那以后我们可以在这里停下来f（P）-P=0P是f的不动点，因此假设这没有发生。然后三角剖分Tn个确保有一个完整的三角形Dn个.

现在我要走捷径了。平面上的有界集有所谓的Weierstrass-Bolzano地产根据它，每个无限点序列至少有一个点近的我们有三个点序列。第一个由D的顶点构成n个的标记为A，第二个由标记为B的顶点和D的其余顶点组成n个构成第三个序列。每个序列都至少有一个点近的自d（T）起n个)减小到0时，每个序列附近至少有一个点P。通过f的连续性，v（P）必然为0。

工具书类

  1. J.L.Casti，五大黄金法则，约翰·威利父子公司，1996年
  2. M.Henle，拓扑学的组合导论《多佛出版》，纽约，1994年。
  3. M.Kac和S.M.Ulam，数学与逻辑，多佛出版公司，纽约，1968年。
  4. S.Stein，另一半是怎么想的，McGraw-Hill，2001年

拓扑元素

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