纸带活动
我们已经有了一个如何将纸带转换为莫比乌斯大道。在这里，我想详细介绍一下这种活动。简而言之，我计划描述几种通过以不同方式将纸带的侧面粘合在一起而获得的表面。请注意，除非您对条做了一些剧烈的操作，否则条在拓扑上等价于一个正方形，这意味着存在从一个到另一个的连续映射。
通过玩弄也可以获得惊人的结果两块同时打印纸张。
首先，让我们把结果汇总到一个表中
有几句话可以解释。给定一个正方形，我们打算（如果可能的话，通过胶合）将其对边的点关联起来。当相对侧的箭头指向同一方向时，例如，环形的情况，我们可以在不扭曲两侧的情况下识别（粘合）点。当箭头指向相反方向时，必须将其中一侧扭转半圈（180°），然后才能识别这些点。这就是Moebius地带.
最后两个曲面（克莱因瓶和投影平面）在我们的三维空间中是不可实现的。这是我决定使用“识别点”这个词而不是“将边粘合在一起”的原因之一。在3D空间中形成这些曲面是不可能的。
在下面的内容中，我们将尝试（参考上述图表）找出如果我们试图沿着水平线或垂直线切割曲面，就会发生这种情况（这是第一个承诺的引用）。
备注
我的滑块游戏有助于强化下文介绍的侧面识别概念。在这个游戏中，成功与否肯定取决于一个人能否将三个闭合曲面（圆环体、克莱因瓶和投影平面）可视化。
平面环形图
垂直切割
沿垂直方向切割环形直线将其缩回到正方形。最右边图表上的垂直实线是接缝，其中原来正方形的两面已经粘在一起了。
水平切割
沿水平线切割环空会产生两个高度较小的独立圆柱体。如果我们沿着中心线切割，圆柱体将是一致的。否则，一个会更高，另一个会更短。
Moebius地带
垂直切割
沿着一条垂直线切割一条莫比乌斯带，将其还原为正方形，就像圆柱体一样。
水平切割
沿水平线切割莫比乌斯带的结果在很大程度上取决于该线在方形中的位置。
如果选定的线穿过在正方形的中间，我们得到了一条两倍窄、两倍长的原始莫比乌斯带。为了确定这一点，注意点A和A'与点B和B'相同。实际上，因为我们把正方形的两边粘在一起，A和A'是一个相同的点。
因此，我们可以想象沿着带材的上部从A移动到B（即与B'相同），然后沿方框的下部从B'移动到A'（与A相同）。一路上，广场的一侧将扭曲两次，总共360°。这样我们得到了一个双面曲面。
我们还没有完成Moebius脱衣舞。与边界由两条曲线组成的圆柱体不同，莫比乌斯带的边界由一条曲线组成。
应开始切割足够靠近边界曲线且与边界曲线平行的板条，我们最终将产生一个较薄的Moebius板条（从正方形的中间开始）和一个双向扭曲的表面，就像沿着中线切割一样。通过想象正方形的中间部分变得越来越薄，直到两条虚线合并为一条，很容易让自己相信这一点。这实际上会将图片缩小到我们沿着中线剪切的位置。
备注
胶水两条带材把它们放在一起，然后再剪掉，这是一项有价值的活动，可以带来新的娱乐机会。
有一个附加页带有交互式Java插图。
圆环体
圆环体的情况是非常简单。无论是沿水平线还是垂直线切割，结果总是尽管起初这种说法可能令人怀疑。当沿着一个小圆切割时，圆环变成一个管。沿大圆切割也是如此。
然而，这似乎与我们每天的经历不符。每个人都知道，当百吉饼沿着大圆圈切开时，它会分裂成两半。怎么了用这个？百吉饼是一个实体，而这里定义和使用的环面是一个表面。把它切成两半，沿着两个圆圈切开它的表面，而不是一个（一旦在百吉饼的外面，然后也在洞里）。
尽管如此，垂直和水平切割似乎产生了不同的结果。垂直切割最恰当的描述是把管子弯成一个圆。水平剪切生成对象我很容易将其视为爆胎（我会说是爆胎，因为它不仅被刺穿了但沿着最大的圆圈切）。这两个表面在拓扑上是相同的，即其中一个可以是从上面的图表可以看出，不断地转换成另一个。两者都可以转换为环形空间。
备注
我在这一页上考虑的唯一切割是“平行于”生成方块的边界。在这种情况下对于圆环体，也可以考虑斜切。两种情况（坡度为理性的还是非理性的) 产生完全不同的结果。我希望回到主题粉碎圆环体在稍后的日期。
居住在环面上与居住在平面上甚至球体上不同。甚至游戏也变得不同了。萨姆·洛伊德15岁需要不同的方法当在圆环的表面上播放时。
克莱因瓶
正如我已经提到的，克莱因瓶子在通常的三维空间中是不可实现的。一个习惯可视化它的方法是首先通过将方形的水平面粘合在一起来创建一个管（圆柱体）。接下来，拉伸管子，使其更容易弯曲和扭转，并加宽管子的一侧。最后，将管子的窄边朝宽端弯曲。就在到达目的地之前把窄的一端穿过瓶子的表面，从里面把两端粘起来。另一个瓶子的可视化方法在avi文件我参考了上表。我不相信我以前有过这样的想法。
必须理解，当在四维空间中执行此操作时没有自交界面，管的两端以莫比乌斯带的方式粘在一起。什么我们认为克莱因瓶是一个投影到我们的四维三维空间中对象。这就像把一个结投射到一个平面上。你禁不住会有重叠的绳子。
垂直切割
克莱因瓶的垂直切口将其缩小为环形。要看到这一点，首先交换两半图中的。然后围绕水平轴旋转（新）右侧。最后，删除箭头并让相应的点重叠。
水平切割
水平切割将克莱因瓶切成两条莫比斯条。开始切断中心线。正如在如果是Moebius条纹，你必须在另一半的正方形上进行切割的第二部分。然后移动上半部分向下，用胶水将其与下半部分粘合，我们生成一条莫比乌斯带。而剩下的中间部分构成第二部分。
现在，如果我们开始并继续沿着中心线切割正方形，会发生什么？我提到的avi电影几次可能会给你一个正确答案的概念。
投影平面
对于射影平面，垂直或水平切割正方形并不重要。考虑从中心线左侧开始，然后继续到中心线右侧的切口。右侧正方形的边缘用它的左边缘来识别（在扭曲之后）。让我们把它们放在一起。下一个翻转在水平对称轴上正方形的前右三分之一，并将其粘合在一起。结果图形上边缘的两半应相互弯曲并粘合在一起。这个必须对下边缘应用相同的操作。我们得到的是一个船型表面很容易想象伸展成一个平面圆盘。广场的其余三分之一是一条莫比乌斯带。
现在，如果原始切割穿过正方形的中间，我们得到的是一个圆盘。为了将圆盘转换回原始投影平面，应确定每个直径的端点，因为当我们将两个半边粘合在一起时，其中一个半边在水平轴上翻转。在这里我们没有学到什么新东西。请看我们用来定义投影平面的页面开头的表中的图表。图中的形状有角的事实在拓扑上是不相关的。它传达的是边界点对称为了获得投影平面，必须确定形状中心（表中的正方形）。
这种形状被称为投影平面实际上是这样吗模型几何图形通过特定变换获得的平面。
工具书类
- S.Barr，拓扑实验，多佛出版社，1964年
- R.Courant和H.Robbins，什么是数学？，牛津大学出版社，1996年
- D.Hilbert和S.Cohn-Vossen，几何学和想象力，Chelsea Publishing Co，纽约，1990年。
在互联网上
- Moebius地带
- 克莱因酒瓶
- 四格克莱因瓶
- Clifford Pickover的电影服务器
- 投影平面
- 数字
|联系人|
|首页|
|目录|
|你知道吗||几何图形|
版权所有©1996-2018亚历山大·博戈莫尼
